7. ОПЕРАЦИИ НАД СЛУЧАЙНЫМИ ПРОЦЕССАМИ

Прежде всего рассмотрим суммирование случайных процессов. Пусть Отыщем характеристики Используя теорему о сложении математических ожиданий, находим

Корреляционная функция суммы двух процессов

Если суммируемые процессы стационарны и стационарно связаны, то и сумма их будет стационарным процессом, т. е. математическое ожидание его а корреляционная функция зависит только от разности поскольку каждое из слагаемых зависит лишь от .

Для некоррелированных (и тем более для независимых) процессов и формула принимает вид

Если процесс подвергается нестационарному безынерционному линейному преобразованию: то его математическое ожидание преобразуется также:

а корреляционная функция преобразуется с коэффициентом дважды:

независимо от

Если осуществляется стационарное линейное преобразование стационарного процесса, то эти формулы имеют вид

Обобщим понятие непрерывности на случайные процессы с помощью введенного ранее понятия предела в среднем квадратическом [см. выражение (XIII. 126)], а именно: процесс X(t) называется непрерывным в среднем квадратическом, если

Легко убедиться, что условием непрерывности стационарного процесса в среднем квадратическом является непрерывность (в обычном смысле) его корреляционной функции при Действительно,

тогда и только тогда, когда при Если случайный процесс непрерывен и существует предел

то этот предел называют производной в среднем квадратическом:

для нее сохраняется также обычное обозначение

Случайный процесс является дифференцируемым в среднем квадратическом только при условии существования производной

Запишем следующее соотношение:

Разлагая в правой части в ряд Маклорена и учитывая четность, этой функции, получим

Таким образом, процесс, рассмотренный в примере XIII.8 является недифференцируемым и непрерывным в среднем квадратическом, поскольку при непрерывна корреляционная функция (XIII. 152). Отметим при этом, что все реализации процесса в примере имеют точки разрыва, т. е. из непрерывности процесса в среднем квадратическом не следует непрерывность его реализаций.

Пусть — случайный процесс, а — его производная. Тогда

т. е. знаки предела и математического ожидания можно переставлять местами, меняя предел в среднем квадратическом на предел в обычном смысле слова.

Найдем корреляцию между процессами и его производной

Аналогично,

Здесь считали, что Результат остается верным и в общем случае. Теперь легко найти автокорреляционную функцию производной

В случае стационарного процесса процесс - тоже стационарен, причем

Таким образом, производная стационарного процесса всегда является центрированным случайным процессом. Последние соотношения позволяют найти связь между соответствующими спектральными плотностями:

откуда

Аналогично,

Дисперсия процесса будет конечна, если конечен интеграл от спектральной плотности т. е. если при быстрее, чем при . Это условие дифференцируемости процесса часто проще проверить, чем эквивалентное условие (XIII. 160).

Полученный результат легко обобщить на случай, когда

или

где - оператор дифференцирования; — полином от степени .

В этом случае процесс является стационарным, если стационарен и первые две моментные функции процесса выражаются через математическое ожидание и корреляционную функцию процесса