7. ОПЕРАЦИИ НАД СЛУЧАЙНЫМИ ПРОЦЕССАМИ
Прежде всего рассмотрим суммирование случайных процессов. Пусть 
Отыщем характеристики 
Используя теорему о сложении математических ожиданий, находим
Корреляционная функция суммы двух процессов
Если суммируемые процессы стационарны и стационарно связаны, то и сумма их будет стационарным процессом, т. е. математическое ожидание его 
а корреляционная функция зависит только от разности 
поскольку каждое из слагаемых зависит лишь от 
.
Для некоррелированных (и тем более для независимых) процессов 
и формула принимает вид
Если процесс 
подвергается нестационарному безынерционному линейному преобразованию: 
то его математическое ожидание преобразуется также:
а корреляционная функция преобразуется с коэффициентом 
дважды:
независимо от 
Если осуществляется стационарное линейное преобразование стационарного процесса, то эти формулы имеют вид
Обобщим понятие непрерывности на случайные процессы с помощью введенного ранее понятия предела в среднем квадратическом [см. выражение (XIII. 126)], а именно: процесс X(t) называется непрерывным в среднем квадратическом, если 
Легко убедиться, что условием непрерывности стационарного процесса 
в среднем квадратическом является непрерывность (в обычном смысле) его корреляционной функции 
при 
Действительно,
тогда и только тогда, когда 
при 
Если случайный процесс 
непрерывен и существует предел
то этот предел называют производной в среднем квадратическом:
для нее сохраняется также обычное обозначение 
Случайный процесс является дифференцируемым в среднем квадратическом только при условии существования производной
Запишем следующее соотношение:
Разлагая в правой части 
в ряд Маклорена и учитывая четность, этой функции, получим
Таким образом, процесс, рассмотренный в примере XIII.8 является недифференцируемым и непрерывным в среднем квадратическом, поскольку при 
непрерывна корреляционная функция (XIII. 152). Отметим при этом, что все реализации процесса в примере имеют точки разрыва, т. е. из непрерывности процесса в среднем квадратическом не следует непрерывность его реализаций.
Пусть 
— случайный процесс, а 
— его производная. Тогда
т. е. знаки предела и математического ожидания можно переставлять местами, меняя предел в среднем квадратическом на предел в обычном смысле слова.
Найдем корреляцию между процессами 
и его производной 
Аналогично,
Здесь считали, что 
Результат остается верным и в общем случае. Теперь легко найти автокорреляционную функцию производной 
В случае стационарного процесса 
процесс - тоже стационарен, причем
Таким образом, производная стационарного процесса всегда является центрированным случайным процессом. Последние соотношения позволяют найти связь между соответствующими спектральными плотностями:
откуда
Аналогично,
Дисперсия процесса 
будет конечна, если конечен интеграл от спектральной плотности 
т. е. если 
при 
быстрее, чем при 
. Это условие дифференцируемости процесса часто проще проверить, чем эквивалентное условие (XIII. 160).
Полученный результат легко обобщить на случай, когда
или
где 
- оператор дифференцирования; 
— полином от 
степени 
.
В этом случае процесс 
является стационарным, если 
стационарен и первые две моментные функции процесса 
выражаются через математическое ожидание и корреляционную функцию процесса 
