2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ЛЯПУНОВА МЕТОДАМИ Г. СЕГЕ И Д. ШУЛЬЦА

В более общем виде функцию Ляпунова можно представить как квадратичную форму с переменными коэффициентами

где

Рис. Решение уравнения (XI.18)

Если принять, что коэффициенты не зависят от переменной то можно считать полиномом второй степени относительно

В этом случае уравнение

всегда можно разрешить по

Решение уравнения (XI. 18) на фазовой плоскости представляет собой две пересекающиеся кривые (рис. XI.6). При этом фазовая плоскость делится на две области . В области I функция , а в области II Когда кривые совпадают, то во всей плоскости. Для простоты изложения рассмотрим определение коэффициентов функции Ляпунова методом Г. Сеге, используя уравнения системы автоматического регулирования второго порядка:

В соответствии с выражением (XI. 17) запишем функцию Ляпунова в виде

откуда получаем

Заметим, что выражения являются полиномами одинаковой степени относительно то же можно сказать и о выражениях Учитывая это замечание, введем новые коэффициенты

тогда выражение (XI.21) примет следующий вид:

Полученное выражение содержит коэффициенты двух типов: Для того чтобы исключить часть этих коэффициентов, введем вспомогательную функцию такого же вида, как и т. е.

Теперь вместо решения уравнения рассмотрим решение уравнения откуда и получим значения коэффициентов функции Ляпунова.

Рис. XI.7. Структурные схемы систем автоматического регулирования (к примерам XI.7-XI.9)

Пример XI.7. Для системы автоматического регулирования, имеющей структурную схему, изображенную на рис. XI.7, а, определим функцию Ляпунова. По структурной схеме найдем уравнения

В соответствии с изложенным выше представим функцию Ляпунова в виде

По методу Сеге при коэффициент не зависит от и является постоянной величиной. Положим его равным единице. Продифференцируем выражение (XI.25); тогда получим

Введем обозначения

Тогда из выражения (XI.26) найдем

При построении функции число переменных уменьшаем, заменяя на тогда будем иметь

Перепишем это выражение в виде полинома второй степени по т. е.

Выберем коэффициенты А, В и С таким образом, чтобы уравнение имело одинаковые корни (при этом кривые на рис. XI.6 совпадают). Это условие выполняется тогда, когда дискриминант равен нулю, т. е.

Коэффициенты равенства (XI.30) согласно выражениям (XI.28), (XI.29) соответственно равны

Очевидно, что равенство (XI.30) в соответствии с (XI.31) выполняется лишь при Отсюда получаем

Поскольку коэффициенты а также являются полиномами одних и тех же порядков, то подставляя (XI.32) в выражение (XI.25), получаем

здесь — произвольные постоянные.

Если принять то выражение (XI.33) примет вид

а

Из выражений (XI.34), (XI.35) следует, что функция положительно определенная,

Для определения коэффициентов функции Ляпунова можно применять метод Д. Шульца, который доказал следующую теорему [86].

Если для системы уравнений с начальными условиями существует область и действительный вектор с элементами такой, что:

2) не обращается в нуль ни в какой точке области кроме начала координат;

4) не является тождественным нулем в области и скалярная функция

обладает следующими свойствами: а) при т. е. положительно определенна; б) одна из поверхностей ограничивает то данная система уравнений асимптотически устойчива в области Предположим, что вектор описывается следующим образом:

Производная определяется как

или

где — транспонированный столбец

Отсюда видно, что функция V может быть определена как линейный интеграл от величины т. е.

Интегрирование можно проводить, так как выполняется условие 1 теоремы Д. Шульца. Линейный интеграл будет независим от траектории движения и его можно представить в виде

Следует отметить, что условие 1 теоремы является необходимым и достаточным для того, чтобы скалярную функцию V можно было бы единственным образом получить из векторной функции

Пример XI.8. Определим функцию Ляпунова по методу Д. Шульца для примера XI.7.

Согласно уравнению (XI.37) для системы (XI.24) имеем

Тогда по выражению (XI.39) найдем

Подставляя значения производных и считая, что получаем следующее выражение:

Будем считать, что тогда для выполнения условия необходимо иметь . В этом случае Компоненты вектора имеют вид

По формуле (XI.41) получаем

при

Полученные выражения (XI.46) и (XI.47) совпадают соответственно с выражениями (XI.34) и (XI.35).