7. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ОБЪЕКТОВ РЕГУЛИРОВАНИЯ

Математические модели объектов регулирования представляют собой уравнения динамики, записанные в виде дифференциальных или разностных уравнений различных порядков в линеаризованном виде или с разделенными линейными и нелинейными частями (см. гл. XIV). Обычно нелинейная часть объекта представляет собой его статические характеристики, а линейная — динамические. В табл. III.1 приведены некоторые математические модели объектов регулирования, описанные дифференциальными уравнениями.

В табл. III.2 математические модели дискретных объектов описаны разностными уравнениями.

Таким же образом, как и в табл. III.1, могут быть составлены нелинейные разностные модели.

Параметры математических моделей часто неизвестны, и для их определения используют экспериментальные данные, приводимые в виде соответствующих таблиц. В таком случае параметры вычисляют с помощью регрессионного анализа.

Рассмотрим применение этого метода для линейного дифференциального уравнения первого порядка

Решение данного уравнения при начальных условиях будет

Положим, что тогда из выражения (III. 101) можно получить разностное уравнение

где переменные соответствуют моменту времени — моменту времени

Коэффициенты А и В определяются выражениями

В полученном разностном уравнении (III.102) значения выходного сигнала для объекта определяются величинами входного и выходного сигналов в предыдущие моменты времени Их задают в виде таблиц.

Тогда предполагаемая величина может быть найдена с помощью следующего выражения:

Таблица III.1 (см. скан) Математические модели непрерывных объектов

Коэффициенты А и В подберем таким образом, чтобы предполагаемая величина как можно меньше отличалась от измеренного значения

Воспользуемся для этого методом наименьших квадратов 145]. Функцию ошибки представим в виде

где — число измерений переменных на входе и выходе объекта, выполненные через равные интервалы времени

Таблица III.2 (см. скан) Математические модели линейных дискретных объектов

Для определения коэффициентов А и В, соответствующих минимуму ошибки запишем

Тогда получим систему уравнений

Перепишем ее в матричной форме:

Из уравнения (III.108) получим

Из выражений (III.102) и (III.103) по найденным значениям А и В можно определить исходные параметры объекта регулирования в виде

Пример III. 1. Определить параметры математической модели, описывающей процесс относительного изменения содержания в системе при производстве, цемента. Содержание во входном потоке обозначим а в выходном — через . В результате проведенных датчиками замеров получена табл. III.3.

Подставив соответствующие значения в формулы (III.109), получим

Таблица III.3 (см. скан) Экспериментальные данные по количеству во входном и выходном потоках

После этого по соотношениям (III. 110) найдем

откуда

Полученное уравнение и описывает дннамнку процесса изменения в смесителе при производстве цемента.

При проектировании систем автоматического регулирования со сложными крупноразмерными объектами довольно часто прибегают к методам моделирования [53]. В этом случае к лабораторному малоразмерному макету объекта подключается реальный регулятор, с которым и проводится отработка системы регулирования.

Для установления окончательных настроек регулятора необходимо располагать дифференциальным или разностным уравнением реального объекта. Воспользуемся для этого теорией подобия, с помощью которой находятся требуемые коэффициенты подобия.

1. Геометрическое подобие обеспечивается постоянством масштабных коэффициентов. Если длина реального объекта а его модели то условие геометрического подобия позволяет найти коэффициент подобия

2. Подобие моделей в вязких средах обеспечивается числами Рейнольдса и Фруда. Число Рейнольдса

где — коэффициент кинематической вязкости; — скорость потока; — геометрический размер.

Число Фруда

где — ускорение свободного падения.

Если принять, что коэффициенты кинематической вязкости реального объекта и модели одинаковы, то условие подобия по Рейнольдсу будет

откуда

Введем следующее обозначение: тогда из уравнения (III.114) имеем

Из соотношения (III. 115) следует, что если модель по размерам уменьшена в раз по сравнению с реальным объектом, то скорость набегающего потока на модель должна быть увеличена в раз.

Условие подобия по числу Фруда запишем в виде

Так как

При моделировании волнового сопротивления судов (когда пользуются числом Фруда) и одинаковых скоростях движения модели и объекта геометрические размеры модели следует уменьшать в раз.

Аналогичные зависимости можно найти. для числа Маха (а — скорость звука); числа Струхаля (число периодических движений, совершенных объектом или моделью в единицу времени); числа Пекле — коэффициент теплопроводности; — теплоемкость при постоянном давлении; — плотность); числа Нуссельта (а — коэффициент теплоотдачи) и т. д.

В дифференциальных уравнениях масштабные коэффициенты определяются следующим образом:

для функций

Для первой производной

Для производной

Пример При экспериментальном исследовании модели было определено уравнение

Моделирование осуществлялось при следующих масштабных коэффициентах:

Необходимо определить дифференциальное уравнение, описывающее динамику реального объекта.

Для этого воспользуемся формулами (III.119)-(III.121); тогда получим

Пользуясь этими масштабными коэффициентами, уравнение (III. 122) запишем в виде

а уравнение, описывающее динамику реального объекта, в виде