6. АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ ОДНОКОНТУРНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ

Для построения логарифмических частотных характеристик разомкнутых систем требуется меньше времени, нежели на построение годографа Михайлова—Найквиста. Поэтому способ анализа устойчивости систем автоматического регулирования, основанный на логарифмических частотных характеристиках, в настоящее время является одним из наиболее распространенных в инженерной практике.

Используя критерии устойчивости Михайлова—Найквиста, сформулируем требования, которым должны удовлетворять логарифмические частотные характеристики разомкнутых систем, обеспечивающие их устойчивость

в замкнутом состоянии. Как видно из рис. XI. 15, а, кривая соответствует устойчивой системе, так как в характеристическом уравнении разомкнутой системы нет полюсов в правой полуплоскости, а годограф при не охватывает точку Назовем частоту в точке пересечения годографа с окружностью единичного радиуса частотой среза Тогда можно найти запас устойчивости системы по фазе

Запас устойчивости по модулю равен т. е. отрезку между точкой и точкой, соответствующей частоте сом при Действительно, по мере роста коэффициента усиления в разомкнутой системе точка будет перемещаться по окружности единичного радиуса до тех пор, пока годограф не пересечет точку с координатами Запасы устойчивости такой системы по фазе и модулю станут равными нулю, и система регулирования будет находиться на грани устойчивости. Дальнейшее увеличение коэффициента усиления до приведет к потере устойчивости. Соответствующий этому случаю годограф также изображен на рис. XI. 15, а. Характеристика охватывает точку и система характеризуется отрицательным значением у, т. е.

Таким образом, данная система является неустойчивой в замкнутом состоянии.

Построим логарифмические амплитудную и фазовую частотные характеристики для рассмотренных систем.

Пусть частотная характеристика

где К — коэффициент усиления; с.

Логарифмическая амплитудная характеристика построена на рис. XI.20 и обозначена Для построения фазовой характеристики воспользуемся формулой, полученной из выражения (XI.94):

Фазовые углы будем определять, пользуясь фазовой линейкой (см. рис. Х.31). Соответствующие числовые значения фазовых углов занесены в табл. XI.4. По этим данным на рис. XI.20 построена логарифмическая фазовая

Рис. XI.20. Логарифмические амплитудная и фазовая частотные характеристики системы автоматического регулирования с передаточной функции (XI.97) при двух значениях коэффициентов усиления

Таблица XI.4 (см. скан) Значения фазовых углов, град

характеристика Система является устойчивой, так как на частоте среза запас устойчивости по фазе а запас устойчивости по модулю при частоте сом равен — Н.

Для систем автоматического регулирования можно пользоваться следующими нормами запасов устойчивости, гарантирующими надежную работу систем: по фазе по модулю . В данном случае имеем , что обеспечивает надежную работу системы.

Необходимо отметить, что нормы запасов устойчивости определяют показатели качества систем автоматического регулирования (см. гл. XII). Так, например, для исключения перерегулирования в системе необходимо иметь запас устойчивости по фазе . Малые запасы устойчивости по модулю (меньше +12 дБ и больше —8 дБ) приводят к увеличению максимума перерегулирования и числа колебаний в переходном процессе.

Увеличим коэффициент усиления анализируемой системы до тогда логарифмическая амплитудная характеристика пересечет ось 0 дБ на частоте среза Запас устойчивости Последнее и указывает на неустойчивость системы автоматического регулирования в замкнутом состоянии.

Рассмотрим первую формулировку критерия устойчивости, основанного на логарифмических частотных характеристиках. Система автоматического регулирования, имеющая передаточную функцию с устойчивыми звеньями, будет устойчива в замкнутом состоянии, если на частоте среза логарифмическая фазовая характеристика имеет положительный запас устойчивости,

а ее амплитудная характеристика при обеспечивает запасы устойчивости по модулю

На рис. XI.21 построены логарифмические амплитудная и фазовая частотные характеристики для системы, имеющей частотную характеристику вида

где К — коэффициент усиления; . Логарифмическая амплитудная характеристика, соответствующая на рис. XI.21 обозначена Фазовая характеристика определяется с помощью следующего выражения:

На рис. XI.21 эта характеристика построена сплошной линией, а участок, соответствующий дуге бесконечного радиуса, — штриховой линией. На частоте среза система имеет запас устойчивости чрсх При запасы устойчивости по модулю соответственно равны Все это указывает на устойчивость системы автоматического регулирования в замкнутом состоянии.

Рассмотрим вторую формулировку критерия устойчивости по виду логарифмических амплитудных и фазовых частотных характеристик. Для этого введем правило знаков. На частотах, где переход положителен, если фазовая характеристика перееекает прямую — снизу вверх, и отрицателен, если она пересекает прямую сверху вниз. Пользуясь этим правилом, сформулируем критерий устойчивости.

Для того чтобы система автоматического регулирования, разомкнутая передаточная функция которой состоит из передаточных функций устойчивых звеньев, была устойчивой в замкнутом состоянии, необходимо и достаточно, чтобы разность между числом положительных и отрицательных переходов фазовой характеристики линии равнялась нулю при значениях частот, для которых логарифмическая амплитудная характеристика неотрицательна.

Рис. XI.21. Логарифмические амплитудная и фазовая частотные характеристики для системы автоматического регулирования, имеющей передаточную функцию (XI.99) при трех значениях коэффициента усиления

На рис. XI.21 для наглядности сплошной линией построен годограф Михайлова—Найквиста по логарифмическим характеристикам Годограф также указывает на устойчивость системы в замкнутом состоянии.

В рассматриваемом примере уменьшим коэффициент усиления до 36 дБ. Соответственно с этим амплитудная характеристика на рис. XI.21 займет положение и на частоте среза имеем Следовательно, система неустойчива в замкнутом состоянии.

В этом случае при имеем только один отрицательный переход фазовой характеристикой оси , т. е. что соответствует неустойчивой системе в замкнутом состоянии.

Теперь увеличим усиление до 86 дБ; тогда логарифмическая амплитудная характеристика займет положение (см. рис. XI.21). На частоте среза имеем что указывает на неустойчивость системы. Действительно, при имеем два отрицательных перехода характеристикой оси и один положительный переход, т. е.

Отсюда следует, что система автоматического регулирования с увеличением коэффициента усиления является неустойчивой.

Здесь же, на рис. XI.21 построены кривые Михайлова—Найквиста в обычном масштабе, из которых видно, что годографы соответствуют неустойчивым системам.

Сформулируем логарифмический критерий устойчивости для случая систем автоматического регулирования, имеющих в разомкнутых передаточных функциях неустойчивые звенья. Для того чтобы система автоматического регулирования, разомкнутая передаточная функция которой имеет неустойчивых звеньев, была устойчивой в замкнутом состоянии, необходимо и достаточно иметь разность между числом положительных и отрицательных переходов фазовой характеристики линии —я, равную при значениях частот, для которых логарифмическая амплитудная характеристика положительна. Необходимо отметить, что и в этом случае для получения удовлетворительных показателей качества следует иметь вполне определенные запасы устойчивости по фазе и модулю .

Рассмотрим несколько примеров анализа устойчивости систем автоматического регулирования по виду логарифмических амплитудных и фазовых частотных характеристик.

Пример XI.16. Разомкнутые системы автоматического регулирования имеют частотные характеристики веда

Проанализируем системы на устойчивость, пользуясь логарифмическими амплитудной и фазовой частотными характеристиками. В первом случае имеется одно неустойчивое апериодическое звеио; следовательно, Для построения логарифмической фазовой характеристики воспользуемся формулой

Во втором случае имеем два неустойчивых апериодических звена, т. е. Формула для фазовой характеристики будет

По формулам (XI.99) и (XI.100) на рис. XI.22 построены логарифмические амплитудная и фазовая характеристики, откуда видно, что при логарифмическая фазовая характеристика имеет —1/2 перехода и переход, т. е. что

указывает на устойчивость системы регулирования в замкнутом состоянии. Кроме того, система обладает достаточным положительным запасом устойчивости по фазе и положительным и отрицательным запасами устойчивости по модулю. На рис. XI.22 построен годограф Михайлова—Найквиста из которого также видно, что система регулирования устойчива в замкнутом состоянии.

По формулам (XI.99) и (XI.101) на рис. XI.22 построены логарифмическая амплитудная и фазовая характеристики. При фазовая характеристика 0г пересекает ось один раз в положительном направлении, т. е. что указывает на устойчивость рассматриваемой системы в замкнутом состоянии. Здесь же, на рис. XI.22 построен годограф Михайлова—Найквиста из которого также видно, что система устойчива. Как и в первом случае, система регулирования обладает достаточными запасами устойчивости

Пример XI. 17. Система автоматического регулирования имеет разомкнутую передаточную функцию с тремя неустойчивыми апериодическими звеньями Тогда

Требуется проанализировать устойчивость этой системы, пользуясь логарифмическими амплитудной и фазовой частотными характеристиками.

Логарифмическую амплитудную характеристику будем строить по формуле (XI. 102). Логарифмическую фазовую характеристику можно построить, пользуясь формулой

Характеристики построены на рис. XI.23. По ним можно определить, что фазовая характеристика пересекает 2 раза ось в положительном направлении и 1/2 — в отрицательном, т. е.

Следовательно, рассматриваемая система устойчива в замкнутом состоянии. С целью проверки правильности анализа устойчивости на рисунке построен годограф Михайлова—Найквиста.

Пример XI.18. Требуется сравнить устойчивость двух статических систем автоматического регулирования, имеющих частотные характеристики

Первая система состоит только из устойчивых звеньев и для нее имеем (XI. 106)

Вторая система имеет одно неустойчивое апериодическое звено а остальные звенья устойчивые. Для нее

Из построенных на рис. XI.24 характеристик видно, что линию фазовая характеристика пересекает 2 раза, т. е.

Кроме того, в системе обеспечиваются следующие запасы устойчивости: по фазе по модулю .

Из анализа характеристик устанавливаем, что выполняется тождество Поэтому вторая система также устойчива в замкнутом состоянии. Ее запасы устойчивости: по фазе , по модулю .

Полученные данные указывают на одинаковые показатели устойчивости обеих систем. Частотные годографы для соответствующих передаточных функций также приведены на рис. XI.24.

(кликните для просмотра скана)

Рис. XI.24. Логарифмические амплитудная и фазовая частотные характеристики для двух систем автоматического регулирования с ,

Пример XI.19. Требуется проанализировать устойчивость системы автоматического регулирования, обладающей астатизмом второго порядка. Частотная характеристика системы имеет вид

Логарифмическая амплитудная характеристика построена на рис. XI.25. Первоначальный наклон амплитудной характеристики составляет -40 дБ/дек, что указывает на

Рис. XI.25. Логарифмические амплитудная и фазовая частотные характеристики система автоматического регулирования, обладающей астатизмом второго порядка

астатнзм второго порядка. Формулу для построения логарифмической фазовой характеристики представим в виде

Логарифмическая фазовая характеристика также построена на рис. XI.25. Пользуясь этой характеристикой, находим, что Последнее указывает на устойчивость системы в замкнутом состоянии.

Система обладает запасами устойчивости и соответствующими значениями На этом же рисунке изображен годограф, построенный по функции (XI.108).

Пример XI.20. Требуется оценить влияние колебательных звеньев на устойчивость систем автоматического регулирования. Допустим, что первая система имеет частотную характеристику в виде

По приведенной частотной характеристике на рис. XI.26 построены логарифмические амплитудная и фазовая частотные характеристики. Система устойчива в замкнутом состоянии, так как запасы устойчивости по фазе , модулю . Если колебательное звено переместить из области низких частот в область высоких частот, то частотную характеристику измененной таким образом системы запишем в виде

По выражению (XI.111) на рис. XI.26 построены характеристики Система имеет три частоты среза: На частоте среза запас устойчивости по фазе , что указывает на неустойчивость системы в замкнутом состоянии.

Здесь же, на рис. XI.26 построен в обычном масштабе годограф Михайлова—Найквиста, из которого видно, что характеристика охватывает точку в отрицательном направлении. Следовательно, система неустойчива в замкнутом состоянии.

Из приведенного примера видно, что параметры колебательного звена оказывают существенное влияние на устойчивость систем автоматического регулирования.

Рис. XI.26. Логарифмические амплитудная и фазовая частотные характеристики для систем автоматического регулирования с колебательными звеньями

Рис. XI.27. Логарифмические амплитудная и фазовая частотные характеристики для системы, имеющей частотную характеристику (XI. 112)

Пример XI.21. Определить запасы устойчивости по фазе и модулю для системы, имеющей частотную характеристику

На рис. XI.27 построена логарифмическая амплитудная характеристика

Для вычисления логарифмической фазовой характеристики воспользуемся формулой

Соответствующая логарифмическая фазовая характеристика 0 приведена на рис. XI.27. Для большей наглядности анализа здесь же, на рис. XI.27 построен годограф Михайлова—Найквиста. Из годографа видно, что рассматриваемая система имеет две частоты среза: (нижняя частота среза) и сосв (верхняя частота среза). На частотах среза находим два запаса устойчивости по фазе и один по модулю Как видно из рис. XI.27, система является устойчивой в замкнутом состоянии.

Из этого примера следует, что система автоматического регулирования может стать неустойчивой при или . На рис. XI.28 построены годографы Михайлова—Найквиста, соответствующие этим двум случаям.

Рис. XI.28 Годографы Михайлова—Найквиста для двух систем регулирования: а — устойчивой из-за ; б — неустойчивой из-за