3. ТЕОРЕМА О ЧИСЛЕ ПЕРЕКЛЮЧЕНИЙ

Рассмотрим частный, но важный для практических приложений, случай о линейных оптимальных быстродействиях, когда уравнения состояния объекта линейны и минимизируется время перехода Примем что закон движения объекта записывается в виде линейной системы дифференциальных уравнений

или в векторной форме

где А — матрица коэффициентов, имеющая все действительные собственные значения. Это означает, что характеристическое уравнение системы (XX. 18)

имеет только действительные корни.

Множество представляет собой параллелепипед, определенный неравенствами

Функция в соответствии с (XX.8) имеет вид

Вспомогательная система уравнений (XX. 10) записывается следующим образом:

или в векторной форме

где — матрица, транспонированная к исходной А. Очевидно, что как функция достигает максимума одновременно с функцией . Таким образом, на основании теоремы 1 можно заключить, что если — оптимальное управление, переводящее фазовую точку в то существует такое решение вспомогательной системы (XX.23), что

Уравнение (XX.23) не содержит неизвестных функций и поэтому все решения этого уравнения могут быть найдены, а затем определяется управление как решение уравнения (XX.24). Так как функция линейна, то она либо постоянна, либо достигает своего максимума лишь на границе многогранника Поскольку это соображение применимо к каждой грани, то функция достигает своего максимума либо лишь в одной вершине многогранника либо на целой грани, причем в последнем случае достижение максимума возможно лишь для конечного числа значений Точку разрыва оптимального управления называют точкой переключения.

В общем случае число переключений зависит от значений коэффициентов системы уравнений (XX. 17), от вида многогранника и от выбора точек

Рассмотрим систему (XX. 18) при условии выполнения и сформулируем теорему о числе переключений, которая впервые была доказана А. А. Фельдбаумом [79].

Теорема 2. Пусть область управления представляет собой параллелепипед, определяемый неравенствами (XX.20), и все собственные значения матрицы А, составленной из коэффициентов уравнений (XX. 17) при неизвестных действительны. Тогда для каждого ненулевого решения уравнений (XX.22) соотношение (XX.24), аналогичное выражению (XX.12), однозначно определяет управление При этом

оказывается, что каждая из функций кусочно-постоянна, принимает только значения и и имеет не более переключений (не более интервалов постоянства), где порядок системы уравнений (XX. 17).

Доказательство. Запишем подробно функцию в виде

Эта функция достигает максимума при условии, что каждое из слагаемых

принимает максимальное значение. Следовательно, функция принимает значение если X отрицательна, и значение если положительна. Таким образом, точками переключения для управления будут те значения при которых обращается в нуль.

Заметим, что теорема 2 будет доказана полностью, когда установим, что линейная комбинация функций не равная тождественно нулю, имеет не более чем действительных корней.

Если известно решение линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами, то каждая из функций записывается в виде

где — попарно различные собственные значения матрицы — многочлены, степень которых на единицу меньше кратности соответствующих собственных чисел.

Выражение имеет вид, аналогичный выражению

Все числа действительны, так как по условию собственные числа матрицы А, а следовательно, и матрицы А действительны. Обозначим кратность собственного значения тогда степень многочлена не превышает числа , и поэтому по лемме, изложенной ниже, число действительных корней функции не превышает

Таким образом, теорема 2 доказана полностью. При доказательстве теоремы 2 была использована следующая лемма.

Лемма. Пусть действительные попарно различные числа; — многочлены с действительными коэффициентами, имеющие степени соответственно Тогда функция

имеет не более действительных корней.

Доказательство. При лемма справедлива, так как функция имеет не более чем действительных корней. Пусть лемма справедлива для слагаемых, докажем ее для слагаемых выражения

Предположим, что лемма неверна; тогда функция (XX.26) имеет, по крайней мере, действительных корней. Умножим функцию на что не меняет числа ее корней; тогда

Функция (XX.27) также имеет не менее действительных корней. Поскольку между двумя действительными корнями функции (XX.27) лежит, по крайней мере, один корень производной от этой функции, то производная от выражения (XX.27) имеет не менее

действительных корней.

Легко получить производную выражения (XX.27) в виде

где числа — попарно различны, а степени многочленов соответственно равны По индукции функция (XX.28) имеет не более действительных корней, а это противоречит только что сказанному. Следовательно, лемма справедлива.