5. ЧАСТОТНЫЕ КРИТЕРИИ УСТОЙЧИВОСТИ

Частотные критерии устойчивости получили наиболее широкое практическое применение, так как, во-первых, они позволяют судить об устойчивости замкнутой системы по более простой передаточной функции разомкнутой системы во-вторых, анализ устойчивости можно выполнять и по экспериментально определенным частотным характеристикам; в-третьих, с помощью частотных характеристик можно судить и о качестве переходных процессов в системах.

Критерий устойчивости Михайлова. А. В. Михайлов первым предложил использовать развитые в радиотехнике Найквистом частотные методы для анализа устойчивости линейных систем регулирования. Сформулированным им в критерий устойчивости назван его именем. Рассмотрим существо этого критерия.

Пусть характеристическое уравнение замкнутой системы имеет вид

Рис. XI.11. Векторное изображение сомножителей характеристического уравнения замкнутой системы на плоскости: а — для двух корней б — для четырех корней

Зная его корни характеристический многочлен для уравнения (XI.72) запишем в виде

Графически каждый комплексный корень можно представить точкой на плоскости. Поэтому, в свою очередь, каждый из сомножителей уравнения (XI.70) можно представить в виде разности двух векторов как это показано на рис. а. Положим теперь, что тогда определяющей является точка со на мнимой оси (рис. XI.11, б). При изменении со от до векторы — комплексных корней повернутся против часовой стрелки, и приращение их аргумента равно а векторы повернутся по часовой стрелке, и приращение их аргументов равно Таким образом, приращение аргумента для корня характеристического уравнения находящегося в левой полуплоскости, составит а для корня, находящегося в правой полуплоскости, Приращение результирующего аргумента равно сумме приращений аргументов его отдельных сомножителей. Если среди корней характеристического уравнения лежит в правой полуплоскости, то приращение аргумента составит

Отметим теперь, что действительная часть многочлена

содержит лишь четные степени со, а мнимая его часть — только нечетные, поэтому

и можно рассматривать изменение частоты только на интервале от 0 до . В этом случае приращение аргумента годографа характеристического многочлена

Если система устойчива, то параметр и из условия (XI.74) следует, что приращение аргумента

На основании полученного выражения сформулируем частотный критерий устойчивости Михайлова: для того чтобы замкнутая система автоматического регулирования была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы годограф характеристического многочлена замкнутой системы (годограф

Рис. XI.12. Примеры годографов Михайлова для различных характеристических уравнений замкнутых систем: а — устойчивые системы при ; б - неустойчивые системы при и различных параметрах

Михайлова) начинался на положительной части действительной оси и проходил последовательно в положительном направлении, не попадая в начало координат, квадрантов комплексной плоскости (здесь — порядок характеристического уравнения системы).

Соответствующие устойчивым системам годографы Михайлова для уравнений различных порядков построены на рис. XI.12, а. На рис. XI.12, б построены годографы Михайлова для неустойчивых систем при

Пример XI.15. Пусть характеристическое уравнение замкнутой системы автоматического регулирования будет

Необходимо проверить устойчивость системы путем построения годографа Михайлова. Для этого положим , тогда уравнение (XI.76) разделяется на действительную и мнимую части:

Зададимся различными значениями и вычислим Соответствующие вычисления приведены в табл. XI.3.

На рис. XI.13 по данным табл. XI.3 построен годограф Михайлова. Годограф при обходим в положительном направлении три квадранта.

Следовательно, система автоматического регулирования устойчива.

Рис. XI.13. Годограф Михайлова к примеру XI. 16

Таблица XI.3. Значения вещественной и мнимой частей годографа Михайлова

Критерий устойчивости Михайлова—Найквиста (амплитудно-фазовый). Критерий устойчивости Михайлова—Найквиста в отличие от алгебраических критериев и критерия Михайлова позволяет судить об устойчивости замкнутой системы автоматического регулирования по поведению годографа разомкнутой системы вида

где — характеристический многочлен разомкнутой системы. Частотная характеристика замкнутой системы

где — характеристический многочлен замкнутой системы.

Положим, что степень многочлена меньше степени многочлена равной Для доказательства критерия устойчивости Михайлова—Найквиста введем вспомогательную функцию

или

Сформулируем следующую теорему, пользуясь обозначениями, приведенными выше.

Теорема Михайлова—Найквиста. Замкнутая система автоматического регулирования будет устойчива, если годограф разомкнутой системы, имеющей полюсов в правой полуплоскости, при увеличении со от 0 до охватит точку раз в положительном направлении.

Доказательство. Будем считать, что у характеристического уравнения разомкнутой системы полюсов в правой полуплоскости, а его порядок Тогда приращение аргумента

Для устойчивости замкнутой системы в силу критерия Михайлова необходимо, чтобы

Следовательно, приращение аргумента функции должно быть

Так как из выражения (XI.80) следует, что

то приращение аргумента вектора, соединяющего точку на действительной оси с точкой на кривой также равно Иначе говоря, годограф совершает оборотов в положительном направлении относительно точки Теорема доказана.

Для построения годографа в прямоугольной системе координат запишем

где — вещественная частотная характеристика разомкнутой системы; V — фазовая частотная характеристика разомкнутой системы.

Рис. XI.14. Годографы Михайлова—Найквиста для устойчивых систем автоматического регулирования: а — при ; б при

Можно строить годограф в полярной системе координат. Тогда выражение (XI.86) примет вид

где — амплитудная частотная характеристика разомкнутой системы; — фазовая частотная характеристика разомкнутой системы.

Функции являются четными, а функции — нечетными по аргументу со. Следовательно,

Из сравнения выражений (XI.86) и (XI.88) видно, что годограф при увеличении от до 0 представляет собой кривую, симметричную относительно вещественной оси в плоскости

На рис. XI. 14, а сплошной линией показан годограф Михайлова—Найквиста при , увеличивающейся от 0 до Как видно из рисунка, годограф охватывая точку совершает полоборота в положительном направлении, что указывает на устойчивость замкнутой системы автоматического регулирования. Здесь же штриховой линией построено зеркальное отображение годографа относительно оси абсцисс, соответствующее увеличению частот от до 0.

Следствие из теоремы Михайлова—Найквиста. Если разомкнутая система устойчива, то для устойчивости замкнутой системы автоматического регулирования необходимо и достаточно, чтобы годограф при увеличении от 0 до не охватывал точку

Из выражения (XI.84) при имеем

Тогда приращение аргумента вектора, соединяющего точку на действительной оси с точкой на кривой также равно нулю. На рис. XI. 14, б показан годограф Михайлова—Найквиста при Как видно из рисунка, годограф не охватывает точку Следовательно, система автоматического регулирования устойчива в замкнутом состоянии.

При анализе устойчивости следует различать два случая: в первом — потеря устойчивости происходит только при увеличении коэффициента передачи, во втором — как увеличение, так и уменьшение коэффициента передачи может привести к потере устойчивости.

Рис. XI.15. Годографы Михайлова—Найквиста для систем автоматического регулирования: а — абсолютно устойчивых; б и в - условно устойчивых

На рис. XI. 15, а показаны годографы Михайлова—Найквиста при двух значениях коэффициента передачи и Как видно из рис. XI.15, а, при система устойчива, а при неустойчива.

На рис. XI.15, б ив как при увеличении коэффициента передачи так и при уменьшении коэффициента до величины годограф охватывает точку Следовательно, как при увеличении, так и уменьшении коэффициента передачи система оказывается неустойчивой.

Введем понятие запаса устойчивости в системах автоматического регулирования. Будем считать, что система обладает требуемым запасом устойчивости, если она удовлетворяет условию устойчивости при значениях модуля вектора отличающихся от единицы не менее чем на заданную величину называемую запасом устойчивости по модулю, и имеет

Рис. XI.16. К определению понятия о запасах устойчивости по фазе и модулю: а — при линейном масштабе построения годографа Михайлова — Найквиста; б — при логарифмической масштабе построения амплитудной и фазовой характеристик

Рис. XI. 17. К доказательству критерия устойчивости Михайлова—Найквиста для астатических систем автоматического регулирования: а — обход начала координат полуокружностью радиуса на плоскости s; б - отображение дуги радиуса на плоскости

фазовый угол, отличающийся от не менее чем на величину ±7, называемую запасом устойчивости по фазе. Соответствующие запасы устойчивости по фазе и модулю показаны на рис. XI.16, а. Полученная таким образом область запрета, куда не должны заходить годографы Михайлова—Найквиста (или амплитудно-фазовые характеристики), на рис. XI. 16, а заштрихована.

Логарифмические частотные характеристики, соответствующие кривым рис. XI. 16, а, построены на рис. XI. 16, б. Здесь же показаны зоны запрета в виде зон А, В, С.

Обобщим критерий устойчивости Михайлова—Найквиста на астатические системы автоматического регулирования. В этом случае передаточную функцию разомкнутой системы можно представить в виде

где — порядок астатизма.

На плоскости возьмем полуокружность около начала координат с радиусом (рис. XI.17, а). Тогда можно написать

Подставив полученное выражение в формулу (XI.89) при найдем

Из полученного выражения видно, что при движении точки по полуокружности против часовой стрелки конец вектора описывает полуокружность бесконечного радиуса двигаясь по часовой стрелке (рис. XI.17, б). Годограф строят обычным способом.

На рис. XI. 18 построены годографы устойчивых систем автоматического регулирования с астатизмом соответственно 1, 2 и порядков

Сформулируем критерий устойчивости систем автоматического регулирования, более удобный для практического применения. Для этого введем

Рис. XI.18. Годографы Михайлова—Найквиста для устойчивых в замкнутом состоянии астатических систем автоматического регулирования: а — при ; б — при — при

Рис. XI.19. Годографы Михайлова—Найквиста: а

правило знаков: переход годографа через отрезок из верхней полуплоскости в нижнюю будем считать положительным, а из нижней полуплоскости в верхнюю полуплоскость — отрицательным. Пользуясь этим правилом знаков, можно сформулировать следующий критерий устойчивости.

Система автоматического регулирования, имеющая в разомкнутом состоянии полюсов в правой полуплоскости, будет устойчивой в замкнутом состоянии, если разность между числом положительных и отрицательных переходов годографа разомкнутой системы через отрезок действительной оси равна

При система устойчива, когда разность между числом положительных и отрицательных переходов годографом через отрезок равна нулю.

На рис. XI.19 показано применение этого критерия к анализу устойчивости двух систем автоматического регулирования. Отрезок на рис. XI. 19 выделен жирной сплошной линией. В точках перехода этого отрезка годографом поставлены стрелки, направленные в сторону возрастания . В кружочках поставлены знаки переходов.

На рис. XI. 19, а показан годограф Михайлова—Найквиста для системы автоматического регулирования, имеющей Число переходов отрезка со знаком плюс равно 2 и со знаком минус также равно Следовательно, по приведенному выше критерию

т. е. рассматриваемая система устойчива в замкнутом состоянии. В системе, годограф которой построен на рис. XI. 19, б, имеем тогда

и система автоматического регулирования также является устойчивой в замкнутом состоянии.