7. АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ МНОГОКОНТУРНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ

Логарифмический критерий устойчивости многоконтурных систем автоматического регулирования можно сформулировать в следующем виде. Для того чтобы многоконтурная система автоматического регулирования, имеющая неустойчивых звеньев, была устойчивой в замкнутом состоянии, необходимо и достаточно для положительных значений логарифмической амплитудной характеристики иметь разность между числом положительных и отрицательных переходов прямой всеми фазовыми частотными характеристиками, получаемыми путем последовательного включения каждого из контуров обратной связи, равную

Рассмотрим двухконтурную систему автоматического регулирования, структурная схема которой изображена на рис. XI.29, а. Будем считать, что в частотной характеристике имеется одно неустойчивое звено Для определения устойчивости системы разомкнем обратные связи. Затем построим логарифмические частотные характеристики и определим разность между числом положительных и отрицательных переходов фазовой характеристики прямой при Допустим, что имеем только один отрицательный переход; тогда получим

Построим логарифмические амплитудную и фазовую частотные характеристики после замыкания контура, имея в виду, что

и фазовая характеристика

будет пересекать ось раза в положительном направлении. Тогда согласно сформулированному выше критерию имеем что указывает на устойчивость замкнутой системы автоматического регулирования.

Следствие. Еслн в системе автоматического регулирования отсутствуют неустойчивые звенья, то для ее устойчивости в замкнутом состоянии необходимо и достаточно, чтобы разность между числом положительных и отрицательных переходов оси всеми логарифмическими фазовыми частотными характеристиками при последовательном включении всех обратных связей для положительных значений частотных характеристик была равна нулю.

Рис. XI.29. Структурные схемы для двухконтурной системы автоматического регулирования: а — исходная; б - преобразованная

Как первая, так и вторая формулировка логарифмических критериев устойчивости многоконтурных систем требует определения логарифмических частотных характеристик замкнутых контуров. Например, для системы, изображенной на рис. XI.29, а, частотную характеристику внутреннего контура можно записать в виде

Преобразуем выражение (XI. 114); тогда получим

что соответствует преобразованной структурной схеме, изображенной на рис. XI.29, б. Введем следующее обозначение:

Найдем, что

Прологарифмируем выражение (XI. 116):

Введем новую переменную

связывающую частотную характеристику преобразованного замкнутого контура с характеристикой разомкнутого контура Для определения логарифмических амплитудных и фазовых частотных характеристик разомкнутого контура служит номограмма замыкания (номограмма Никольса). Для ее получения воспользуемся следующими выражениями:

здесь — амплитудная характеристика разомкнутого контура; — фазовая характеристика разомкнутого контура;

где — амплитудная характеристика преобразованного замкнутого контура; — фазовая характеристика преобразованного замкнутого контура.

Подставив выражения (XI.119) и (XI.120) в формулу (XI.118), получим

Воспользуемся формулой Эйлера; тогда соотношение (XI. 121) перепишем в виде

Выделяя в правой части формулы (XI. 122) действительную и мнимую части и приравнивая их соответствующим выражениям левой части, находим

и

С помощью формул (XI. 123) и (XI. 124) получают номограмму Никольса. Откладывая по оси ординат в децибелах, а по оси абсцисс в градусах, строят кривые равных значений в децибелах (сплошные линии номограммы на рис. XI.30). Штриховые линии номограммы получаются как линии равных значений в градусах. Числовые значения в децибеллах приведены в кружочках для соответствующих сплошных линий номограммы. Числовые значения в градусах приведены в кружочках внизу.

Номограммой можно пользоваться следующим образом: 1) построенные логарифмические амплитудную и фазовую частотные характеристики перенесем на номограмму в виде кривой; 2) нанесем на эту кривую значения круговых частот как параметр; 3) в точках пересечения сплошных кривых номограммы с логарифмической кривой при некоторых значениях со находим числовые значения амплитуд приведенного замкнутого контура в точках же пересечения со штриховыми кривыми номограммы определяем фазовые значения приведенного замкнутого контура сложим полученные характеристики с логарифмическими амплитудой и фазовой характеристиками; тогда получим исходные частотные характеристики замкнутого контура.

Можно пользоваться и другим способом построения логарифмических частотных характеристик замкнутого контура. Для этого выражение (XI. 114) перепишем в виде

В полученное выражение введем следующее обозначение:

тогда получим

По формуле (XI. 127) нетрудно проследить следующий способ построения логарифмических амплитудной и фазовой частотных характеристик замкнутого контура: 1) построим зеркальное отображение относительно оси частот для характеристик и перенесем их на номограмму замыкания; 2) нанесем на полученную кривую значения круговых частот ; 3) в точках пересечения кривой с линиями номограммы найдем значения амплитуд и фаз сложим полученные характеристики с логарифмической амплитудной и фазовой характеристиками; тогда получим исходные логарифмические частотные характеристики контура

Следует отметить, что при решении ряда практических задач второй способ часто оказывается более удобным, нежели первый.

(кликните для просмотра скана)

Указанная методика пригодна и для построения логарифмических амплитудных и фазовых частотных характеристик замкнутых систем автоматического регулирования. Передаточная функция замкнутой системы при

по своей структуре аналогична формуле (XI.118). Поэтому, зная логарифмические амплитудные и фазовые частотные характеристики разомкнутой системы с помощью номограммы замыкания можно получить амплитудную и фазовую частотные характеристики замкнутой системы.

Номограмму замыкания можно использовать и при построении логарифмических частотных характеристик замкнутой системы (или замкнутого контура) с положительной обратной связью. Покажем это следующим образом. Пусть передаточная функция замкнутой системы с положительной обратной связью при определяется по формуле вида

Из формулы (XI. 128), которой соответствует номограмма на рис. XI.30, найдем частотную характеристику разомкнутой системы

Сравнивая формулы (XI.129) и (XI.130), можно установить, что по своему написанию они тождественны. Только в формуле (XI. 129) в левой части стоит функция замкнутой системы, а в правой части — функции разомкнутой системы. В формуле (XI. 130), наоборот, в левой части функция разомкнутой системы, а в правой части — функции замкнутой системы. Отсюда нетрудно сформулировать правило построения частотных характеристик систем с положительной обратной связью: значения амплитуд и фаз разомкнутой системы следует отмечать на кривых номограммы, а значения амплитуд и фаз замкнутой системы считывать по осям ординат и абсцисс номограммы.

Пример XI.22. Передаточную функцию разомкнутой следящей системы (ем. рис. IX. 12) запишем в виде

где

Для построения частотной характеристики по передаточной функции (X1.131) введем следующие обозначения:

Тогда получим

Пользуясь выражениями (XI. 132) и (XI. 133), построим логарифмические частотные характеристики. На рис. XI.31 построены логарифмическая амплитудная (кривая 1) и фазовая (кривая 3) частотйые характеристики по функции Из рис. XI.31 видно, что

Рис. XI.31. (см. скан) Логарифмические амплитудные и фазовые частотные характеристики двухконтурной следящей системы

внутренний контур имеет две частоты среза: При сосн запас устойчивости по фазе , а при сосв , что указывает на высокую устойчивость внутреннего контура системы в замкнутом состоянии.

Для построения частотных характеристик по функции воспользуемся следующим преобразованием:

Здесь же на рис. XI.31 построим зеркальйое отображение относительно оси частот амплитудной (кривая 2) и фазовой (кривая 4) частотных характеристик для функции

Перенесем несколько значений амплитуд и фаз функции на номограмму и проведем через эти точки сплошную кривую (см. рис. XI.30); нанесем на ней значения частот Таким образом, нами получена логарифмическая амплитудно-фазовая частотная характеристика Точки пересечения этой кривой со сплошными линиями номограммы позволяют найти значения амплитуд для характеристики точки пересечения со штриховыми линиями номограммы — значения фаз. Перенесем амплитудную и фазовую частотные характеристики с номограммы рис. XI.30 на рис. XI.31. Соответствующие кривые обозначены цифрами 5 и 6. Построим логарифмические амплитудную (кривая 9) и фазовую (кривая 10) характеристики. Сложив графически значения амплитуд и фаз получим результирующие кривые . Из полученных характеристик видно, что на частоте среза сос системы запас устойчивости по фазе , а запас устойчивости по модулю дБ.

Следовательно, следящая система имеет хорошие показатели устойчивости (так как полученные запасы устойчивости превышают указанные ранее нормы). Можно также отметить, что фазовая характеристика в районе частоты среза имеет пологий участок. Это обстоятельство обеспечивает постоянство запаса устойчивости по фазе при небольших изменениях

коэффициентов усиления элементов системы. Иначе говоря, данная система является высокостабильной по отношению к колебанйям напряжения источников питания, износу электрических машии и агрегатов.

Пример XI.23. Исследовать устойчивость многоконтурной системы стабилизации (автопилот—самолет), структурная схема которой изображена на рис. IX.6. Преобразуем первый внутренний контур, заменив его передаточной функцией:

или

где

Заменив первый внутренний контур передаточной функцией (XI. 135), получим преобразованную структурную схему, изображенную на рис. XI.32.

Запишем частотную характеристику двухконтурной системы в виде

где

здесь

Примем, что параметры системы стабилизации имеют следующие числовые значения: .

При степени колебательности колебательное звено распадается на два апериодических -

Проанализируем устойчивость внутреннего контура системы автоматической стабилизации по передаточной функции Логарифмические амплитудная и фазовая частотные характеристики построены на рис. XI.33. Как видно из рисунка, запасы устойчивости внутреннего контура по фазе , а по модулю дБ. На этом же рисунке показаны обратные логарифмические характеристики по функции Полученные значения обратных логарифмических частотных характеристик нанесены на номограмму замыкания (см. рис. XI.30, где логарифмическая обратная амплитудно-фазовая характеристика построена штрихпунктирной линией). Точки пересечения этой кривой со сплошными и штриховыми линиями номограммы определяют характеристики — и Перенесем эти характеристики на рис. XI.33.

Рис. XI.32. Преобразованная структурная схема системы автоматической стабилизации (автопилот—самолет)

Рис. Логарифмические частотные характеристики внутреннего контура системы стабилизации (автопилот—самолет)

Построим логарифмические амплитудную и фазовую частотные характеристики по частотной характеристике (рис. XI.34). Складывая значения амплитуд (см. рис. XI.33) и (рис. XI.34), а также значения фаз (рис. XI.33) и (рис. XI.34), получим результирующие частотные характеристики всей разомкнутой системы стабилизации самолета. Соответствующие характеристики и 0 построены на рис. IX.34. Из рис. XI.34 видно, что на частоте среза запас устойчивости по фазе , а запас устойчивости по модулю дБ. Полученные показатели запасов устойчивости гарантируют надежную работу системы стабилизации самолета.

Пример XI.24. Исследовать устойчивость системы автоматического регулирования, структурная схема которой изображена на рис. XI.35, а. Как видно из этого рисунка, система автоматического регулирования имеет внутренний контур с положительной обратной связью, поэтому его передаточную функцию следует записать в виде

или

где

Рис. XI.34. Логарифмические частотные характеристики системы стабилизации (автопилот—самолет)

Рис. XI.35. Стрдктдряые схемы систем автоматического регулировали: а — о положительной обратной связью; б — о неустойчивым апериодическим звеном во внутренней контуре

Для построения логарифмических частотных характеристик примем, что передаточные функции имеют следующий вид:

а их параметры соответственно равны:

Логарифмические амплитудная (кривая 1) и фазовая (кривая 2) частотные характеристики построены на рис. XI.36. Как видно из рисунка, внутренний контур является устойчивым, так как его логарифмическая амплитудная частотная характеристика лежит ниже прямой 0 дБ.

Искомую характеристику построим о помощью номограммы замыкания (рис. XI.37). При положительной обратной связи значения амплитуд разомкнутого контура берут с кривых номограммы (обозначены в кружках), а значения амплитуд и фаз замкнутого контура считают с осей ординат и абсцисс. На рис. выполнено соответствующее построение (кривая При .

Рис. XI.36. (см. скан) Логарифмические амплитудные и фазовые частотные характеристики внутреннего контура системы автоматического регулирования

(кликните для просмотра скана)

Рис. XI.38. (см. скан) Логарифмические амплитудная и фазовая частотные характеристики для

Значения амплитуд и фаз с кривой I рис. XI.37 переносят на рис. XI.36. Соответствующие характеристики построеиы на рис. X 1.36 (кривые 3 и 4).

На этом же рисунке построена амплитудная частотная характеристика (кривая 5) и фазовая характеристика (кривая Сложив ординаты кривых 3 и 5, получим амплитудную логарифмическую характеристику внутреннего замкнутого контура с положительной обратной связью (рис. XI.38). Сумма ординат кривых 4 и 6 (см. рис. XI.36) даст фазовую частотную характеристику (кривая на рис. XI.38).

Результирующие частотные характеристики разомкнутой системы и 0 строят с помощью следующего выражения:

Они построены на рис. XI.38, откуда видно, что на частоте среза системы сосв имеется запас устойчивости по фазе и при запас устойчивости по модулю .

Таким образом, можно сделать вывод, что система автоматического регулирования с внутренней положительной обратной связью является устойчивой в замкнутом состоянии, а полученные запасы устойчивости по фазе и модулю обеспечивают высокую ее стабильность и при значительном изменении параметров.

При исследовании устойчивости многоконтурных систем автоматического регулирования методами логарифмических частотных характеристик с неустойчивыми звеньями во внутренних контурах фазовая характеристика разомкнутого контура на частоте среза опускается ниже прямой —я. Тогда при использовании номограммы замыкания и непосредственном считывании значений фаз замкнутого контура получается скачок фазы на 360°. Однако, если вспомнить формулу которой были построены фазовые характеристики номограммы, то станет очевидным, что фазовые кривые номограммы соответствуют не одному, а значениям фазы, т. е. . Иначе говоря, номограмма представляет собой многолистную фазовую поверхность с началами координат в точке Поэтому при считывании значений фаз с номограммы следует брать значения фаз, исключая 360°. В этом случае обеспечивается непрерывность построении фазовой характеристики замкнутого контура (системы). Проиллюстрируем это конкретным примером.

Пример XI.25. Исследовать устойчивость двухконтурной системы автоматического регулирования, имеющей неустойчивое звено во внутреннем контуре. Структурная схема системы показана на рис. XI.35, б.

Пусть передаточные функции системы имеют следующий вид:

где

Рис. XI.39. (см. скан) Логарифмические амплитудная и фавовая частотные характеристики разомкнутого и замкнутого внутреннего контура с неустойчивым апериодическим звеном

Запишем частотную характеристику для разомкнутой системы в виде

где

Логарифмические амплитудная и фазовая частотные характеристики и построены на рис. XI.39. Из выражения (XI. 140) видно, что в передаточной функции имеется один полюс в правой полуплоскости; следовательно, для устойчивости внутреннего контура разность между числом положительных и отрицательных переходов кривой прямой должна быть равна Из рис. XI.39 видно, что это условие соблюдается. Следовательно, внутренний контур будет устойчивым в замкнутом состоянии.

Для построения логарифмических частотных характеристик замкнутого контура воспользуемся следующим выражением:

Рис. XI.40. (см. скан) Логарифмические амплитудная и фазовая частотные характеристики разомкнутой многоконтурной системы автоматического регулирования

Подставим в выражение в построим характеристики . Затем нанесем на номограмму рис. XI.37 логарифмическую амплитудно-фазовую частотную характеристику (кривая 11) Перенеся соответствующие ординаты и учитывая характеристики звена получим логарифмические амплитудную и фазовую частотные характеристики

Результирующие амплитудную и фазовую частотные характеристики всей системы находят о помощью выражения

Соответствующее построение выполнено на рис. XI.40 — кривые и 0, Из рис. XI.40 видно, что данная система автоматического регулирования устойчива в замкнутом состоянии в .