Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
7. АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ МНОГОКОНТУРНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯЛогарифмический критерий устойчивости многоконтурных систем автоматического регулирования можно сформулировать в следующем виде. Для того чтобы многоконтурная система автоматического регулирования, имеющая Рассмотрим двухконтурную систему автоматического регулирования, структурная схема которой изображена на рис. XI.29, а. Будем считать, что в частотной характеристике Построим логарифмические амплитудную и фазовую частотные характеристики после замыкания
и фазовая характеристика
будет пересекать ось Следствие. Еслн в системе автоматического регулирования отсутствуют неустойчивые звенья, то для ее устойчивости в замкнутом состоянии необходимо и достаточно, чтобы разность между числом положительных и отрицательных переходов оси
Рис. XI.29. Структурные схемы для двухконтурной системы автоматического регулирования: а — исходная; б - преобразованная Как первая, так и вторая формулировка логарифмических критериев устойчивости многоконтурных систем требует определения логарифмических частотных характеристик замкнутых контуров. Например, для системы, изображенной на рис. XI.29, а, частотную характеристику внутреннего контура можно записать в виде
Преобразуем выражение (XI. 114); тогда получим
что соответствует преобразованной структурной схеме, изображенной на рис. XI.29, б. Введем следующее обозначение:
Найдем, что
Прологарифмируем выражение (XI. 116):
Введем новую переменную
связывающую частотную характеристику преобразованного замкнутого контура
здесь
где Подставив выражения (XI.119) и (XI.120) в формулу (XI.118), получим
Воспользуемся формулой Эйлера; тогда соотношение (XI. 121) перепишем в виде
Выделяя в правой части формулы (XI. 122) действительную и мнимую части и приравнивая их соответствующим выражениям левой части, находим
и
С помощью формул (XI. 123) и (XI. 124) получают номограмму Никольса. Откладывая по оси ординат Номограммой можно пользоваться следующим образом: 1) построенные логарифмические амплитудную Можно пользоваться и другим способом построения логарифмических частотных характеристик замкнутого контура. Для этого выражение (XI. 114) перепишем в виде
В полученное выражение введем следующее обозначение:
тогда получим
По формуле (XI. 127) нетрудно проследить следующий способ построения логарифмических амплитудной и фазовой частотных характеристик замкнутого контура: 1) построим зеркальное отображение относительно оси частот для характеристик Следует отметить, что при решении ряда практических задач второй способ часто оказывается более удобным, нежели первый. (кликните для просмотра скана) Указанная методика пригодна и для построения логарифмических амплитудных и фазовых частотных характеристик замкнутых систем автоматического регулирования. Передаточная функция замкнутой системы при
по своей структуре аналогична формуле (XI.118). Поэтому, зная логарифмические амплитудные и фазовые частотные характеристики разомкнутой системы Номограмму замыкания можно использовать и при построении логарифмических частотных характеристик замкнутой системы (или замкнутого контура) с положительной обратной связью. Покажем это следующим образом. Пусть передаточная функция замкнутой системы с положительной обратной связью при
Из формулы (XI. 128), которой соответствует номограмма на рис. XI.30, найдем частотную характеристику разомкнутой системы
Сравнивая формулы (XI.129) и (XI.130), можно установить, что по своему написанию они тождественны. Только в формуле (XI. 129) в левой части стоит функция замкнутой системы, а в правой части — функции разомкнутой системы. В формуле (XI. 130), наоборот, в левой части функция разомкнутой системы, а в правой части — функции замкнутой системы. Отсюда нетрудно сформулировать правило построения частотных характеристик систем с положительной обратной связью: значения амплитуд и фаз разомкнутой системы следует отмечать на кривых номограммы, а значения амплитуд и фаз замкнутой системы считывать по осям ординат и абсцисс номограммы. Пример XI.22. Передаточную функцию разомкнутой следящей системы (ем. рис. IX. 12) запишем в виде
где Для построения частотной характеристики по передаточной функции (X1.131) введем следующие обозначения:
Тогда получим
Пользуясь выражениями (XI. 132) и (XI. 133), построим логарифмические частотные характеристики. На рис. XI.31 построены логарифмическая амплитудная (кривая 1) и фазовая (кривая 3) частотйые характеристики по функции Рис. XI.31. (см. скан) Логарифмические амплитудные и фазовые частотные характеристики двухконтурной следящей системы внутренний контур имеет две частоты среза: Для построения частотных характеристик по функции
Здесь же на рис. XI.31 построим зеркальйое отображение относительно оси частот амплитудной (кривая 2) и фазовой (кривая 4) частотных характеристик для функции Перенесем несколько значений амплитуд и фаз функции на номограмму и проведем через эти точки сплошную кривую (см. рис. XI.30); нанесем на ней значения частот Следовательно, следящая система имеет хорошие показатели устойчивости (так как полученные запасы устойчивости превышают указанные ранее нормы). Можно также отметить, что фазовая характеристика в районе частоты среза имеет пологий участок. Это обстоятельство обеспечивает постоянство запаса устойчивости по фазе при небольших изменениях коэффициентов усиления элементов системы. Иначе говоря, данная система является высокостабильной по отношению к колебанйям напряжения источников питания, износу электрических машии и агрегатов. Пример XI.23. Исследовать устойчивость многоконтурной системы стабилизации (автопилот—самолет), структурная схема которой изображена на рис. IX.6. Преобразуем первый внутренний контур, заменив его передаточной функцией:
или
где
Заменив первый внутренний контур передаточной функцией (XI. 135), получим преобразованную структурную схему, изображенную на рис. XI.32. Запишем частотную характеристику двухконтурной системы в виде
где
здесь Примем, что параметры системы стабилизации имеют следующие числовые значения: При степени колебательности Проанализируем устойчивость внутреннего контура системы автоматической стабилизации по передаточной функции
Рис. XI.32. Преобразованная структурная схема системы автоматической стабилизации (автопилот—самолет)
Рис. Построим логарифмические амплитудную и фазовую частотные характеристики по частотной характеристике Пример XI.24. Исследовать устойчивость системы автоматического регулирования, структурная схема которой изображена на рис. XI.35, а. Как видно из этого рисунка, система автоматического регулирования имеет внутренний контур с положительной обратной связью, поэтому его передаточную функцию следует записать в виде
или
где
Рис. XI.34. Логарифмические частотные характеристики
Рис. XI.35. Стрдктдряые схемы систем автоматического регулировали: а — о положительной обратной связью; б — о неустойчивым апериодическим звеном во внутренней контуре Для построения логарифмических частотных характеристик примем, что передаточные функции имеют следующий вид:
а их параметры соответственно равны: Логарифмические амплитудная Искомую характеристику Рис. XI.36. (см. скан) Логарифмические амплитудные и фазовые частотные характеристики внутреннего контура системы автоматического регулирования (кликните для просмотра скана) Рис. XI.38. (см. скан) Логарифмические амплитудная и фазовая частотные характеристики для Значения амплитуд и фаз с кривой I рис. XI.37 переносят на рис. XI.36. Соответствующие характеристики На этом же рисунке построена амплитудная частотная характеристика Результирующие частотные характеристики разомкнутой системы
Они построены на рис. XI.38, откуда видно, что на частоте среза системы сосв имеется запас устойчивости по фазе Таким образом, можно сделать вывод, что система автоматического регулирования с внутренней положительной обратной связью является устойчивой в замкнутом состоянии, а полученные запасы устойчивости по фазе и модулю обеспечивают высокую ее стабильность и при значительном изменении параметров. При исследовании устойчивости многоконтурных систем автоматического регулирования методами логарифмических частотных характеристик с неустойчивыми звеньями во внутренних контурах фазовая характеристика разомкнутого контура на частоте среза опускается ниже прямой —я. Тогда при использовании номограммы замыкания и непосредственном считывании значений фаз замкнутого контура Пример XI.25. Исследовать устойчивость двухконтурной системы автоматического регулирования, имеющей неустойчивое звено во внутреннем контуре. Структурная схема системы показана на рис. XI.35, б. Пусть передаточные функции системы имеют следующий вид:
где Рис. XI.39. (см. скан) Логарифмические амплитудная и фавовая частотные характеристики разомкнутого и замкнутого внутреннего контура с неустойчивым апериодическим звеном Запишем частотную характеристику для разомкнутой системы в виде
где
Логарифмические амплитудная и фазовая частотные характеристики Для построения логарифмических частотных характеристик замкнутого контура воспользуемся следующим выражением:
Рис. XI.40. (см. скан) Логарифмические амплитудная и фазовая частотные характеристики разомкнутой многоконтурной системы автоматического регулирования Подставим в выражение Результирующие амплитудную и фазовую частотные характеристики всей системы находят о помощью выражения
Соответствующее построение выполнено на рис. XI.40 — кривые
|
1 |
Оглавление
|