Глава IX. УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ ОБЪЕКТОВ, УСТРОЙСТВ И СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ И ИХ СТРУКТУРНЫЕ СХЕМЫ

1. Представление объектов и устройств систем регулирования с сосредоточенными элементами в виде передаточных функций. 2. Представление устройств систем регулирования с распределенными элементами в виде трансцендентных передаточных функций. 3. Составление структурных схем систем автоматического регулирования. 4. Преобразование структурных схем. 5. Передаточные функции систем автоматического регулирования. 6. Описание объектов, устройств и систем регулирования в векторно-матричной форме. 7. Уравнения состояния линейных стационарных систем регулирования. 8. Уравнения состояния линейных нестационарных систем регулирования. 9. Решение линейных стационарных и нестационарных уравнений состояния. 10. Определение переходных матриц линейных стационарных и нестационарных систем. 11. Управляемость и наблюдаемость линейных систем. 12. Представление динамических характеристик объектов, устройств и систем автоматического регулирования импульсными переходными функциями.

В гл. II—VIII были приведены уравнения динамики, описывающие поведение объектов и устройств систем автоматического регулирования. Уравнения динамики для непрерывных систем регулирования обычно представляются в виде линейных дифференциальных, интегродифференциальных или алгебраических уравнений. Для импульсных устройств уравнения динамики записываются в виде линейных или нелинейных уравнений в конечных разностях. Если в уравнениях систем коэффициенты являются постоянными, то такие системы называются стационарными; если коэффициенты зависят от времени, то системы именуются нестационарными.

Необходимо отметить, что линейные дифференциальные уравнения могут быть записаны в полных производных, если их математическая модель составлена для элементов с сосредоточенными параметрами, либо в частных производных, если модель составлена из элементов с распределенными параметрами. В тех случаях, когда уравнения динамики объекта или устройства системы не могут быть линеаризованы, поведение системы регулирования описывается нелинейным уравнением. Наличие нелинейных уравнений оказывает существенное влияние как на поведение всей системы регулирования в целом, так и на форму ее представления для проектирования и расчетов (см. гл. XIV).

Для описания систем с переменными параметрами обычно применяют импульсные переходные функции. В этом случае импульсная переходная функция зависит не от одной переменной времени а от двух переменных: текущего времени и момента приложения воздействия в виде дельта-функции. Импульсные переходные функции как стационарных, так и нестационарных систем связаны с их соответствующими частотными характеристиками. Таким образом, оба способа описания систем автоматического регулирования являются равноправными.

1. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ОБЪЕКТОВ И УСТРОЙСТВ СИСТЕМ РЕГУЛИРОВАНИЯ С СОСРЕДОТОЧЕННЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ В ВИДЕ ПЕРЕДАТОЧНЫХ ФУНКЦИЙ

С целью упрощения методов расчета и проектирования систем автоматического регулирования уравнения динамики объектов или устройств записывают не через оригиналы функций, а в виде изображений функций, полученных с помощью прямого преобразования Лапласа.

Если оригинал представляет собой функцию времени то

изображение этой функции есть функция комплексной переменной задаваемой в виде следующего интеграла:

где — символ прямого преобразования Лапласа.

Для определения оригинала функции по ее изображению используют обратное преобразование Лапласа

где С — абсцисса абсолютной сходимости; — символ обратного преобразования Лапласа.

Приведем в табл. IX.1 простейшие операции над оригиналами и изображениями. С помощью этой таблицы нетрудно определить преобразование Лапласа для различных уравнений.

Пример IX. I. Выполнить прямое преобразование Лапласа для дифференциального уравнения

при нулевых начальных условиях. С помощью табл. IX. 1 найдем

Таблица IX.1 (см. скан) Простейшие операции над оригиналами и изображениями

Пример IX.2. Выполнить прямое преобразование Лапласа для иитегродифференциального уравнения

при нулевых начальных условиях. С помощью табл. IX.1 получим

При расчетах систем автоматического регулирования довольно часто требуется знать изображение функций для управляющего или возмущающего воздействий. Управляющее и возмущающее воздействия обычно представляют в виде функций (см. гл. I). Приведем примеры нахождения изображений для некоторых функций.

Пример IX.3. Найти изображение для единичной ступенчатой функции

В этом случае

Полученное выражение справедливо лишь при так как в этой полуплоскости оно является аналитической функцией.

Пример IX.4. Найти изображения для функции

Приведем в табл. IX.2 изображения ряда функций, наиболее часто встречающихся в задачах теории автоматического регулирования.

Таблица IX.2 (см. скан) Таблица изображений наиболее часто встречающихся функций в задачах теории автоматического регулирования

Пример IX.5. Выполнить прямое преобразование Лапласа для дифференциального уравнения

при нулевых начальных условиях. Пользуясь табл. IX. 1 и IX.2, получим

В теории автоматического регулирования пользуются не уравнениями объектов и устройств систем автоматического регулирования, записанными через изображение функций, а их передаточными функциями. Под передаточной функцией понимают отношение изображения выходной величины для объекта или устройства системы к изображению функции входной величины, полученных при нулевых начальных условиях.

Используя это определение, нетрудно найти передаточные функции для уравнений (IX.2) и (IX.3), т. е.

и

Определим передаточные функции для ряда устройств и объектов регулирования. В гл. IV сильфонный датчик давления описывается дифференциальным уравнением (IV.85). Применив к нему прямое преобразование Лапласа, получим

Уравнения динамики электромашинного усилителя с поперечным полем возбуждения были приведены в гл. V в виде формул (V.41)-(V.43). Применив к ним преобразование Лапласа, найдем

где

Перепишем первое и третье уравнения (IX.5) в следующем виде:

где

Из уравнений (IХ.5) и (IХ.6) получим следующие передаточные функции;

В дальнейшем на основе этих передаточных функций (IX.7) и уравнений (IХ.6) будет составлена структурная схема ЭМУ (см. п. 3 настоящей главы). Применим преобразование Лапласа к уравнению (VI 1.3); тогда

Из этого выражения можно найти передаточную функцию электродвигателя по скорости

где

Если считать, что

где — угол поворота вала двигателя, то его передаточную функцию (IX.9а) можно представить в виде

Для гидравлического привода, состоящего из насоса переменной производительности и гидравлического двигателя с постоянной шайбой, в гл. VII

было приведено дифференциальное уравнение (VII.56). Применив к нему прямое преобразование Лапласа, получим

откуда

где

В гл. III были приведены дифференциальные уравнения объектов регулирования:

а) дизеля

б) самолета

Применив к уравнению (IX. 12) преобразование Лапласа, найдем передаточную функцию дизеля

Воспользуемся методом замораживания коэффициентов. Тогда записав уравнения (IX. 13) в операторной форме при нулевых начальных условиях и исключив переменную получим передаточную функцию самолета

где

Исключив переменную получим

где

Передаточную функцию (IX. 15а) можно записать и в следующем виде:

где

Рассмотрим уравнения динамики ракеты-носителя космических летательных аппаратов [см. формулы (III.74) и (III.75)]. Применим к ним метод замораживания коэффициентов; тогда при нулевых начальных условиях можно получить

где .

Положив и исключив из уравнений (IX. 16), получим

откуда передаточная функция ракеты (IV. 17) с учетом знаков коэффициентов будет

В табл. IX.3 приведены параметры передаточной функции (IX. 18) для ракеты-носителя «Авангард» [74].

Из выражения (IX. 18) следует, что ракета-носитель является неустойчивым объектом регулирования, так как в ее передаточной функции содержатся неустойчивые апериодические звенья с постоянными времени (см. гл. X).

Параметры ракеты в зависимости от времени ее полета существенно изменяются (табл. IX.3), что необходимо учитывать в процессе проектирования ее системы автоматической стабилизации.

Передаточную функцию КЛА можно определить по уравнению (111.98), применив прямое преобразование Лапласа:

Таблица IX.3 (см. скан)

Откуда

где

Из приведенных передаточных функций устройств и объектов систем регулирования видно, что различные по своей природе устройства и объекты состоят из нескольких типов одинаковых сомножителей (первого и второго порядков). К таким сомножителям можно отнести

Например, датчик давления, электрический двигатель постоянного тока, гидравлический привод и самолет имеют в передаточной функции сомножитель вида

В передаточные функции электромашинного усилителя с поперечным полем возбуждения и дизеля входят сомножители вида в передаточные функции электрического двигателя постоянного тока, гидравлического привода и самолета — сомножитель и т. д.

Таким образом видно, что использование передаточных функций позволит существенным образом упростить математическое описание различных объектов и устройств систем регулирования, сведя их к небольшому числу типовых сомножителей.