12. СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ

Рассмотрим типовую структурную схему системы регулирования (рис. XIV.67), содержащую нелинейный безынерционный элемент с характеристикой , и линейную инерционную часть с передаточной функцией

Помехи и шумы переведены ко входу системы и образуют случайную составляющую входного сигнала

а математическое ожидание является полезным сигналом. Задачей статистического анализа данной системы является опрег деление основных статистических характеристик ошибки системы например, математического ожидания и дисперсии . В подавляющем большинстве случаев решение задач возможно лишь приближенными способами.

В настоящей главе рассмотрен один из приближенных способов — метод статистической линеаризации.

Для отыскания основных характеристик процесса на выходе нелинейного элемента с характеристикой необходимо знать плотности вероятности различных порядков процесса на входе (см. гл. XIII). Остановимся на задаче определения математического ожидания. Используем формулу для математического ожидания функции случайного аргумента

где — первая плотность распределения процесса на входе нелинейного элемента. Считая ее нормальной, можем вычислить значения , подставив в (XIV.257) выражение (XIII.111) для

Пример XIV. 16. Рассмотрим нелинейность типа насыщения

для которой

После несложных преобразований получим

Рис. XIV.68. Зависимость среднего значения сигнала на выходе звена с насыщением от параметров входного сигнала

где обозначено:

— известный интеграл вероятностей.

На рис. XIV.68 приведен график зависшмости от для различных значений Из этого графика можно сделать вывод о том, что наличие случайной составляющей сглаживает нелинейность исходной характеристики, расширяя зону линейности и уменьшая эффективный коэффициент усиления. Последнее характерно для всех элементов, для которых падает с ростом, х.

Эффект сглаживания еще более значителен для разрывных релейных нелинейностей. Так, для идеального реле значение средней составляющей на выходе определяется формулой

Во многих случаях процесс на входе нелинейности мало отличается от нормального. Это обусловлено как нормальностью шумов так и «эффектом нормализации» (см. гл. XIII), свойственным инерционной линейной части системы (см. рис. XIV.67), в результате чего процесс обычно близок к нормальному.

В этнх условиях расчет системы удобно вести с помощью метода статистической линеаризации.

Основная идея метода заключается в том, что исходная нелинейная характеристика заменяется линейной:

где коэффициенты передачи по математическому ожиданию и случайной составляющей и выбирают такими, чтобы процесс был статистически эквивалентен процессу на выходе исходного нелинейного элемента.

Возможны два определения статистической эквивалентности, и поэтому различают два способа статистической линеаризации.

При первом способе коэффициенты выбирают такими, чтобы выполнялось равенство математических ожиданий и дисперсий процессов

Подставляя в эти равенства выражение (XIV.260) и используя свойства математических ожиданий, находим уравнения для

откуда получаем следующие выражения для коэффициентов статистической линеаризации по первому способу:

где — нормальная плотность вероятности;

При статистической линеаризации по второму способу в качестве критерия эквивалентности применяют условие минимума среднего квадрата ошибки от замены на

где минимум находят по коэффициентам и в соответствии с уравнениями

Решая эти уравнения, находят выражения для коэффициентов статистической линеаризации по второму способу:

Из сравнения результатов, полученных при использовании первого и второго способа, видно, что коэффициенты передачи по математическому ожиданию одинаковы в обоих случаях, а по случайной составляющей несколько различны.

Обычно рекомендуется в качестве выбирать среднее арифметическое

Таким образом, нелинейный элемент заменяется совокупностью двух линейных элементов, коэффициенты передачи которых зависят от (рис. XIV.69).

Пример XIV.17. Найдем коэффициенты статистической линеаризации для идеального

Коэффициент передачи по математическому ожиданию (полезной составляющей) находим, используя XIV.261)

Рис. XIV.69. Эквивалентная замена нелинейности линейным преобразованием среднего значения и случайной составляющей

Рис. XIV.70. Коэффициенты статистической линеаризации для идеального реле

Коэффициент передачи по случайной составляющей, вычисляемой по первому способу,

Используя (XIV.264), находим по второму способу:

Графики зависимостей рассчитанные по приведенным формулам, даны на рис. XIV.70, а, б [72].

Исследуем точность и устойчивость нелинейных систем с обратной связью, находящихся под действием сигнала содержащего полезную и случайную компоненты:

Здесь полезная составляющая сигнала является его математическим ожиданием, а случайная составляющая центрирована. Пусть входной сигнал является стационарным процессом, т. е.

Рассчитаем среднее значение и дисперсию сигнала ошибки X, пользуясь методом статистической линеаризации и формулами, полученными в гл. XIII для линейных систем.

Запишем уравнения системы, структурная схема которой дана на рис. XIV.67, в виде

где — функция линейной части системы

Заменим характеристику нелинейного элемента эквивалентным линейным преобразованием вида

Усредняя соотношения (XIV.265) и (XIV.266), находим уравнения для средней составляющей:

Вычитая затем из исходных уравнений усредненные, для случайней составляющей получим

откуда согласно результатам гл. XIII находим дисперсию ошибки

где

передаточная функция по случайной составляющей ошибки, а

по ее среднему значению.

Для определения уравнения (XIV.267) и (XIV.269) следует решать совместно, определяя графически или численно в результате итераций. Если система астатическая и то из (XIV.267) следует, что так как и остается найти только дисперсию из уравнения (XIV.269). В зтом случае в выражение для входит коэффициент зависящий только от Это уравнение решают также графически или численно.