8. МЕТОДЫ АНАЛИЗА ТОЧНОСТИ ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ ПРИ РЕГУЛЯРНЫХ И СЛУЧАЙНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ
Характеристики точности импульсных систем автоматического регулирования при действии регулярных управляющих сигналов определяются по коэффициентам ошибок (см. гл. XIII).
В п. 7 гл. XIII были приведены математические зависимости, которые позволяют определять коэффициенты ошибки и добротности непрерывных систем автоматического регулирования. Пользуясь изложенной выше методикой, определим точность импульсных систем регулирования. Динамическую ошибку в таких системах можно рассчитывать двумя методами.
По аналогии с непрерывными системами, сигнал ошибки как функцию времени следует представить в виде ряда по производным входного сигнала, взятым в дискретные моменты времени 
Применяя к полученному соотношению преобразование Лапласа, имеем
где ряд, стоящий в скобках, есть разложение передаточной функции 
относительно ошибки по степеням переменной 
Следовательно,
При анализе импульсных систем, как правило, используют импульсную передаточную функцию 
. В этом случае коэффициенты ошибки 
вычисляют по формулам
где
При таком способе определения ошибки в установившемся состоянии предполагают, что при анализе импульсной системы известен входной сигнал и его производные. Однако на вход системы могут поступать лишь дискретные значения сигнала, огибающая которого неизвестна. В этом случае не удается определить производные входного сигнала и воспользоваться формулами (XV. 185) - (XV. 188).
При втором методе предполагают разложение ошибки 
в ряд по разностям входного сигнала. В этом случае вместо первой производной входного сигнала записывают разность первого порядка и т. д. В результате дискретный аналог выражения (XV. 185) принимает вид
Применяя z-преобразование к последнему выражению, получим
где ряд, стоящий в квадратных скобках, можно рассматривать как разложение передаточной функции 
в ряд по степеням 
Коэффициенты разложения при этом вычисляют по формуле
Заметим, что при малых Т
и
откуда
Кроме того, для малых значений Т
и возможно определение коэффициентов ошибки при разложении импульсной передаточной функции 
в ряд по степеням 
Таким образом, при малых Т справедливо равенство
где
При
или с учетом выражения (XV.190)
Разложение в ряд в виде равенства (XV. 193) позволяет для нахождения коэффициентов ошибки воспользоваться логарифмическими амплитудными характеристиками, построенными в зависимости от псевдочастоты 
(см. п. 2 гл. XIII).
Пример XV.20. Для заданной структурной схемы (рис. XV.32, а) определить ряд ошибок при воздействии возмущения 
Преобразуем исходную структурную схему к виду, удобному для расчета (рис. XV.32, С). Тогда
Рис. XV.32. Структурные схемы импульсной системы для примера XV.20
При замыкании внутреннего контура получим одноконтурную систему (рис. XV.32, в), для которой импульсная передаточная функция
или, переходя к переменной 
Изображение сигнала ошибки для такой системы вычисляют по формуле
где
Зная передаточные функции, пр формулам (XV.188), (XV.191) и (XV.193) нетрудно вычислить коэффициенты ошибки 
Результаты вычислений приведены в табл. XV.3.
Проверим справедливость приближенных формул (XV.192), (XV.194), (XV.195). Для коэффициента формула (XV-192) выполняется:
Для коэффициентов 
формула (XV. 192) не выполняется: 
формула (XV.194) справедлива: 
но соотношение (XV.195) не выполняется: 
.
Это объясняется тем, что период прерывания 
с не является малым.
Найденные значения коэффициентов ошибки позволяют записать выражение для ошибки в виде ряда как для непрерывного, так и дискретного входного сигналов. Если входной сигнал непрерывный, то ошибка определяется выражением в виде ряда (XV. 185); в нашем случае
Для дискретного входного сигнала ошибка записывается в виде ряда через разности входного сигнала в соответствии с выражением (XV.189):
Таблица XV.3 (см. скан)
По аналогии с непрерывными системами для импульсных систем можно ввести понятия добротности по скорости, ускорению и т. п. Коэффициент добротности зависят от коэффициентов ошибки следующим образом:
Для определения добротности можно использовать логарифмические характеристики разомкнутой системы в функции псевдочастоты V.
Обратимся вновь к ранее рассмотренному примеру и воспользуемся передаточными функциями
Первой передаточной функции соответствует передаточная функция разомкнутой системы вида
второй
Частотные характеристики для 
показаны на рис. XV.33, а, а для 
— на рис. XV.33, б.
Добротность по скорости при передаче сигнала 
при передаче сигнала 
Обратимся к анализу точности импульсных систем автоматического регулирования при случайных воздействиях. Для этого определим
Рис. XV.33. Определение добротности по скорости с помощью логарифмических частотных характеристик
спектральную плотность случайного процесса как обобщенное преобразование Фурье, от корреляционной функции процесса в виде
где 
— корреляционная функция сигнала и 
В дальнейшем для удобства под спектральной плотностью дискретного процесса будем понимать выражение
На основании формулы (XV.203) найдем следующее выражение спектральной плоскости:
где 
есть z-преобразование от корреляционной функции соответствующего непрерывного процесса.
Допустим, что на стационарную линейную импульсную систему воздействует случайный сигнал 
с корреляционной функцией 
Для стационарного сигнала выполняется соотношение
и корреляционная функция выходного сигнала 
где 
— импульсная переходная функция системы.
Отсюда следует, что выходной сигнал 
также стационарен. Установим связь спектральных плотностей входного и выходного сигналов импульсной системы с переходной функцией 
Для этого умножим обе части равенства (XV.206) на 
и просуммируем от 
до 
в результате получим
где 
— передаточная функция импульсной системы. 
Учитывая выражение (XV.203), найдем
Так как 
является дробно-рациональной функцией 
с действительными коэффициентами и величина 
комплексно-сопряженная величине 
получим
Корреляционная функция выходного сигнала согласно выражению (XV.203) определяется по формуле обратного z-преобразования
Для устойчивых импульсных систем в качестве контура интегрирования о можно взять окружность единичного радиуса 
Рассмотрим способ вычисления средней квадратической ошибки при воспроизведении случайного сигнала импульсной системой. Дисперсия дискретного сигнала ошибки
где 
— спектральная плотность полезной составляющей входного сигнала; 
— спектральная плотность помехи; 
— импульсные передаточные функции, определяющие влияние входного сигнала и помехи на ошибку системы.
Для того чтобы определить интеграл в формуле (XV.211), целесообразно перейти к 
-преобразованию и использовать известные формулы из теории непрерывных систем (см. прил. VI). Производя замену переменных 
и учитывая уравнение контура интегрирования, получим
Последний интеграл нетрудно привести к виду выражения (XIII.207) и воспользоваться таблицей интегралов (см. прил. VI).
Пример XV.2I. Определить ошибку воспроизведения входного сигнала в виде дискретного белого шума со спектральной плотностью 
для системы, показанной на рис. XV.32, а.
Для вычисления дисперсии ошибки подынтегральное выражение в формуле (XV.212) необходимо представить в виде
Для рассматриваемого случая
здесь 
Тогда с помощью таблицы прил. VI для случая 
определим дисперсию ошибки в виде
