2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ ОШИБОК В СИСТЕМАХ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ С ПОМОЩЬЮ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ АМПЛИТУДНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК

Коэффициенты ошибок или добротностей можно определять и по логарифмическим амплитудным характеристикам. Для этого рассмотрим несколько типовых логарифмических амплитудных характеристик разомкнутых систем автоматического регулирования. На рис. XIII.4 показаны характеристики четырех типов систем автоматического регулирования с астатизмом первого порядка. Передаточные функции этих систем и коэффициенты добротности и приведены в табл. XIII. 1.

Для определения коэффициентов добротности найдем частоту сок, соответствующую точке пересечения продолжения низкочастотной логарифмической амплитудной характеристики с осью частот:

При имеем и

откуда

Сравнивая выражения (XIII.19) и (XIII.21), найдем, что следовательно,

(кликните для просмотра скана)

Определим теперь значения для системы типа 1. Из формул (XIII. 19) найдем

или

Для исключения из полученного выражения запишем

или

Перемножим выражения (XIII.49) и (XIII.51); тогда получим

откуда

Подставим в полученное выражение формулу (XIII.50), т. е.

откуда

или

Подставим полученное выражение в формулу (XIII.48) и после ряда преобразований запишем

Подставив это выражение в формулы (XI 11.21), получим

Если в полученном выражении имеют большие значения, то

Продолжим низкочастотную логарифмическую амплитудную характеристику с наклоном — по пересечения с осью частот (рис. XIII.4,1).

Частоту в точке пересечения обозначим Пользуясь этой частотой, можно написать

Возведем полученное выражение в квадрат; тогда

Имея в виду соотношение (XIII.44), из выражения получим

Сравнивая выражение (XIII.61) и (XIII.58), найдем

С помощью соотношений (XIII.45) и (XIII.62) из логарифмической амплитудной характеристики нетрудно найти значение добротностей

Определим коэффициенты добротности по скорости и ускорению для системы типа Как и прежде,

Из формул табл. XIII.1 найдем

Исключим из выражения (XIII.64) Для этого воспользуемся следующими соотношениями:

Перемножив их, получим

откуда

или

Из выражения (XIII.66) найдем

и

т. е.

Подставив соотношение (XIII.69) в выражение (XIII.64), получим

откуда

При больших значениях будем иметь

На основании рис. XIII.4, II найдем

и

Подставим в выражение (XIII.74) формулу (XIII.44). В этом случае найдем

или

Сравнивая выражения (XIII.72) и (XIII.76), получим

С помощью соотношений (XIII.45) и (XIII.75) найдем значения добротностей по скорости и ускорению для системы типа II с астатизмом первого порядка:

Для систем автоматического регулирования типа III (рис. XIII.4,III) и IV (рис. XIII.4,IV) значения добротностей определяют теми же способами. Полученные значения и занесены в табл. XIII. 1. В ряде практических задач передаточные функции разомкнутых систем автоматического регулирования имеют вид, отличный от приведенного в табл. XIII.1; например,

В передаточной функции (XIII.79) вместо постоянных времени можно ввести

тогда выражение (XIII.79) примет вид

Рис. XIII.5. Логарифмическая амплитудная частотная характеристика к примеру XIII.3

В этом случае можно пользоваться формулами для выведенными для системы типа II. Ошибка в такой замене при построении логарифмической амплитудной характеристики не превышает 2 дБ.

Рассмотрим еще один вид передаточной функции:

Введем обозначения:

получим

Как видно, передаточная функция (XIII.82) относится к системе типа IV (см. табл. XIII. 1). Перейдем теперь к конкретным примерам определения ошибки в системах автоматического регулирования по логарифмическим амплитудным характеристикам.

Пример XIII.3. Определить характеристики точности астатической системы автоматического регулирования, если ее логарифмическая амплитудная характеристика представлена на рис. XIII.5. Будем считать, что

Рис. XIII.6. Характеристики точности системы автоматического регулирования к примеру XIII.3: 1 — ошибка при постоянной скорости (кинематическая точность системы); 2 — ошибка при постоянном ускорении; 3 — суммарная ошибка (динамическая точность системы)

Рис. XIII.7. (см. скан) Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика к примеру XII 1.4

Найдем ; по рис. XIII.5. Как видно, тогда

Зная эти коэффициенты, ошибку системы определим по формуле

Характеристики точности построены на рис. Для сравнения определим значения по формулам, приведенным в табл. XIII.1:

Как видно, значения добротностей и найденные приближенным способом по достаточно близко совпадают со значениями и вычисленными по формулам табл. XIII.1.

Пример XIII.4. Определить коэффициент статизма системы автоматического регулирования температуры печи по логарифмической амплитудной характеристике, изображенной на рис. XIII.7. Построить характеристику точности, если — в часах). Основное влияние на точность статической системы оказывает первый член ряда [см. формулу (XIII.

Из логарифмической амплитудной характеристики найдем значение , откуда .

Подставив это значение в формулу (XII 1.83), получим

Если считать, что печь работает то ошибка системы за это время будет .

На рис. XIII.8 построена характеристика точности системы автоматического регулирования температуры печи по времени.

Рис. XIII.8. Характеристика точности системы автоматического регулирования температуры печи