ГЛАВА XI. ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ

1. Общая постановка задачи устойчивости по Ляпунову. 2. Определение функций Ляпунова методами Г. Сеге и Д. Шульца. 3. Устойчивость линейных систем автоматического регулирования. 4. Алгебраические критерии устойчивости. 5. Частотные критерии устойчивости. 6. Анализ устойчивости одноконтурных систем автоматического регулирования. 7. Анализ устойчивости.многоконтурных систем автоматического регулирования. 8. Анализ устойчивости систем автоматического регулирования с трансцендентными звеньями. 9. Выделение областей устойчивости с помощью D-разбиения.

Одной из основных задач теории автоматического регулирования является изучение динамических процессов, происходящих в автоматических системах. Автоматические системы при нормальной эксплуатации должны поддерживать определенный режим работы объекта регулирования при действии на него многих возмущающих факторов. Такое поведение может быть достигнуто лишь в системах автоматического регулирования, обладающих устойчивостью по отношению к этим воздействиям. Устойчивость системы означает, что малые изменения входного сигнала или какого-нибудь возмущения, начальных условий или параметров не приведут к значительным отклонениям выходного сигнала. Это определение раскрывает физический смысл понятия устойчивости. Математическая постановка задачи об устойчивости рассмотрена ниже.

1. ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ УСТОЙЧИВОСТИ ПО ЛЯПУНОВУ

Поскольку процессы в системах автоматического регулирования описываются дифференциальными уравнениями, то математический анализ устойчивости сводится к исследованию свойств решения таких уравнений. Решение уравнения можно рассматривать как некоторую траекторию в пространстве переменных Эта траектория удовлетворяет в общем случае системе нелинейных уравнений

или в векторной форме записи

где

Система уравнений имеет решение, и притом единственное, если функции или, короче, вектор-функция X удовлетворяет теореме Коши

Рис. XI.1. Траектория движения системы

Рис. XI.2. Структурные схемы нелинейных систем автоматического регулирования: а — при ; б — при

о существовании и единственности решения системы дифференциальных уравнений с заданными начальными условиями. Всюду в дальнейшем предполагается, что решение системы (X 1.1) существует и единственно.

Из множества траекторий, удовлетворяющих системе (XI. 1), выберем одну, которую обозначим через и будем исследовать ее устойчивость. Точнее говоря, будем изучать свойства траекторий начинающихся в начальный момент времени из состояния вблизи (рис. XI. 1). Если они остаются все время вблизи то говорят об устойчивости системы; если они отклоняются от то это соответствует неустойчивости.

Покажем, что задачу об устойчивости траектории можно свести к задаче об устойчивости начала координат в пространстве новых переменных.

Введем новую переменную

Тогда уравнение (XI.2) примет вид

или в общей форме записи

причем в новой системе координат согласно условию (XI.3) траектории соответствует точка Точка для уравнения (XI.4) является положением равновесия, так как

Системой уравнений (XI. 1) в общем случае можно описать нелинейную систему автоматического регулирования, структурная схема которой показана на рис. XI.2, а. Если и нелинейный оператор является стационарным, т. е. не зависит явно от времени, то такая система называется автономной (рис. XI.2, б). В этом случае уравнения (XI.2) и (XI.4) принимают вид

Класс автономных систем объединяет многие системы автоматического регулирования, как линейные, так и нелинейные.

Сформулируем математическое определение устойчивости, используя следующее геометрическое представление (рис. XI.3). Из изложенного выше следует, что, не ограничивая общности, можно рассматривать только устойчивость положения равновесия в начале координат. Допустим, что в некоторой области

Рис. XI.3. Траектории движения. соответствующие устойчивой, асимптотически устойчивой и неустойчивой системам

которая является сферой, объединяющей все точки, отстоящие от начала координат на расстоянии выполняются условия теоремы Коши для системы (XI.5). Тогда через каждую точку этой области проходит некоторая траектория Положение равновесия системы (XI.5) совпадает с началом координат.

Будем говорить, что положение равновесия устойчиво, если для любого существует такое что траектория начинающаяся в точке сферической области все время остается в сферической области Иначе говоря, траектория начинающаяся внутри области никогда не достигает сферы

Положение равновесия асимптотически устойчиво, если оно устойчиво и, кроме того, существует такое что каждая траектория начинающаяся в сферической области стремится к началу координат, когда время неограниченно растет.

Положение равновесия неустойчиво, если для некоторого (хотя бы одного) и любого каким бы малым ни было выбрано, всегда найдется внутри сферической области такая точка что траектория начинающаяся в этой точке, достигает за конечное время сферы

Рассмотрим простейшие примеры.

Пример XI.1. Пусть некоторая система описывается дифференциальными уравнениями

Эта система является автономной и совершенно аналогична системе уравнений (XI.5). Структурная схема системы показана на рис. XI.4, а. Положением равновесия в системе координат являются точки, где Очевидно, что при этом и начало координат является положением равновесия. Траектории системы легко найти из соотношения

Интегрируя, получаем Если построить по этому уравнению кривые, то получим хорошо известные фигуры Лиссажу для генератора, представляющие собой концентрические окружности с центром в начале координат. Начало координат, являющееся положением равновесия системы, устойчиво, что следует непосредственно из определения.

Если взять то существует такое, что траектория которая начинается в точке описывает окружность радиуса , следовательно, остается внутри области

Рис. XI.4. Три типа систем автоматического регулирования и их траектории движения: a — для системы ; б — для в — для

Рис. XI.5. Поверхность, определяющая функцию

т. е. имеет место устойчивость. Однако траектории не приближаются к началу координат, и положение равновесия не будет асимптотически устойчиво.

Пример XI.2. Рассмотрим систему

Траектория этой системы показана на рис. XI.4, б. Положением равновесия является точка начала координат Если взять начальную точку то при движении по траектории изображающая точка х не только не выходит за пределы окружности но и стремится к началу координат; следовательно, начало координат системы асимптотически устойчиво.

Пример XI.3. Рассмотрим систему

Траектории показаны на рис. XI.4, в. Положением равновесия, как и прежде, является начало координат Выбрав радиус и сколь угодно малое легко убедиться, что траектория начинающаяся в любой точке области обязательно достигает окружности за конечное время; следовательно, положение равновесия неустойчиво.

В приведенных примерах удавалось легко определить траектории системы и установить факт устойчивости исходя непосредственно из определения. Важная заслуга русского ученого А. М. Ляпунова заключается в том, что он указал подход к определению свойства устойчивости, не связанный с анализом траекторий и, следовательно, не требующий выполнения трудоемкой работы по нахождению решения дифференциальных уравнений. Этот подход основан на простой идее, известной из механики: в положении равновесия система имеет минимум потенциальной энергии. Известно, что минимум потенциальной энергии всегда можно считать равным нулю. Тогда в любой окрестности положения равновесия потенциальная энергия будет положительной. Применение функций, которые положительны всюду, за исключением положения равновесия, к анализу устойчивости и лежит в основе метода, разработанного А. М. Ляпуновым.

Рассмотрим автономную систему второго порядка

Предположим, что положением равновесия, которое необходимо исследовать, является начало координат, т. е. выполняются условия . Допустим, что известна некоторая функция переменных состояния которая положительна всюду, за исключением начала координат, где она равна нулю. Такая функция показана на рис. XI.5, а; проекции сечений этой функции плоскостями показаны на рис. XI.5, б. Если для любой начальной точки функция такова, что ее производная , то траектория направлена в сторону уменьшения V. Если всюду, как это показано на рис. XI.5, б, , то траектория стремится к началу координат, которое устойчиво, в данном случае асимптотически. Если окажется, что вблизи начала координат

то , следовательно, начало координат просто устойчиво. Таким образом, устойчивость зависит от свойств производной функции У как функции времени.

Найдем полную производную функции У по времени, т. е.

Учитывая соотношение (XI. 10), имеем

Поскольку функции считаются известными, то для определения производной нет необходимости отыскивать траектории движения, достаточно иметь лишь уравнения системы (XI. 10).

Распространяя соотношение (XI.11) на системы порядка, получим

Введем некоторые определения. Для этого рассмотрим функцию определенную в пространстве переменных непрерывную в некоторой области включающей начало координат, и имеющую в этой области непрерывные частные производные.

Функцию назовем определенно положительной в области С, если всюду в этой области, кроме точки имеет место неравенство Если же выполняется неравенство то функция V называется определенно отрицательной. В том и другом случае функцию можно называть знакоопределенной.

Если в области всюду выполняется неравенство или неравенство то функция называется знакопостоянной, причем в первом случае ее называют знакоположительной, а во втором — знакоотрицательной.

Если функция V принимает в области значения как положительного, так и отрицательного знаков, то в этом случае функцию V называют знакопеременной.

Рассмотрим примеры: функция — определенно положительная функция лишь в области функция — определенно положительная во всем пространстве переменных; функция лишь знакоположительна, поскольку, кроме точки начала координат, она обращается в нуль и на линии ; функция знакопеременна.

Функции удовлетворяющие одному из данных выше определений и предназначенные для анализа устойчивости, называются функциями Ляпунова.

К сожалению, не существует единого способа формирования функции Ляпунова для анализа конкретных систем автоматического регулирования. Наибольшее распространение для анализа устойчивости систем (и, в частности, широкого класса линейных систем) находят функции Ляпунова в виде квадратичных форм.

Квадратичная форма может быть представлена в виде

или в матричной форме

где

— симметрическая матрица.

Квадратичная форма, представленная в виде (XI. 13) или в виде соответствующей ей матрицы называется положительно определенной, отрицательно определенной, знакоположительной или знакоотрицательной, если соответственно или . Все остальные квадратичные формы являются знакопеременными. Укажем признаки, по которым можно проверить, какое из указанных выше свойств имеет изучаемая квадратичная форма или соответствующая ей матрица.

Квадратичная форма (XI. 13), или матрица Р из (XI. 14), является положительно определенной, отрицательно определенной, знакоположительной, знакоотрицательной, неопределенной или тождественно равной нулю в том и только в том случае, если собственные значения матрицы Р, которые для симметрической матрицы действительны, соответственно все положительны, все отрицательны, все неотрицательны, все неположительны, имеют различные знаки или все равны нулю.

Собственные значения матрицы Р — это корни характеристического уравнения

или

Пример XI.4. Рассмотрим квадратичную форму

или в матричной форме записи

Матрица составим ее характеристическое уравнение

Раскрывая определитель, получаем

откуда находим корни характеристического уравнения в виде

Все корни — положительные действительные числа, поэтому матрица Р и соответствующая ей квадратичная форма положительно определены.

Пример XI.5. Пусть квадратичная форма имеет вид

или в матричной форме

Составим характеристическое уравнение

Раскрывая определитель, получим отсюда Среди корней имеется один нулевой; следовательно, все корни неотрицательны и рассматриваемая квадратичная форма знакоположительна.

Сформулируем еще один признак определенной положительности квадратичной формы, известный как критерий Сильвестра.

Для того чтобы квадратичная форма (XI. 13) была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы каждый из угловых миноров

матрицы Р был положителен.

Пример XI.6. Рассмотрим вновь квадратичную форму

Составим угловые миноры матрицы Р (см. пример XI.4) в виде

Все миноры положительны; следовательно, квадратичная форма определенно положительна.

Рассмотрим также квадратичную форму

Составим угловые миноры матрицы Р:

В данном случае не все угловые миноры положительны: среди них есть равные нулю; следовательно, исследуемая квадратичная форма не является положительно определенной. Ранее было установлено, что она лишь знакоположительна.