2. ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ ПО ВТОРОМУ МЕТОДУ ЛЯПУНОВА

Второй (или прямой) метод Ляпунова позволяет анализировать устойчивость систем автоматического регулирования не только в -окрестности (в малом), но и (в большом) в ограниченной области. Для доказательства этого положения рассмотрим систему автоматического регулирования,

Рис. XIV.3. Структурная схема нелинейной. системы, автоматического регулирования с внутренней обратной связью

изображенную на рис. XIV.3. Уравнения динамики системы представим в следующем виде:

Введем в рассмотрение функцию Ляпунова

где Р — произвольная симметричная, положительно определенная матрица. Отсюда

Ранее было доказано (см. гл. XI), что для устойчивой линейной части системы регулирования

где — произвольная симметричная, положительно определенная матрица.

Тогда из (XIV. 10) найдем

где

Перепишем уравнение (XIV. 11) в матричной форме:

Для того чтобы матрица V была отрицательно определенной, необходимо иметь матрицу

положительно определенной.

Для положительной определенности матрицы достаточно, чтобы определитель был положительным, так как матрица по условию, положительно определенна.

Введем в рассмотрение матрицу

определитель которой также положителен.

Здесь принято, что — нулевой вектор порядка. Отсюда следует, что

или

Неравенство (XIV. 12) является, условием положительной определенности матрицы и гарантирует, что функция V, задаваемая выражением (XIV.9), представляет собой функцию Ляпунова. При условии обеспечения

имеем когда В этом случае система уравнений (XIV. 8) абсолютно устойчива.

Пример XIV.2. В системе автоматического регулирования (рис. XIV.3) примем, что

Требуется определить наименьшее значение при котором гарантируется абсолютная устойчивость системы регулирования, если матрица диагональная.

По передаточной функции и структурной схеме (рис. XIV.3) запишем векторноматричное уравнение

Примем, что

Тогда из уравнения

найдем

или

Так как в нашем примере

то

откуда

Для выбора величин воспользуемся необходимыми условиями минимума, т. е.

откуда получим Подставив эти значения в неравенство, найдем, что

Рассмотренный метод анализа абсолютной устойчивости можно распространить на нестационарные нелинейные системы, описываемые уравнением вида Для этого следует воспользоваться производной функции Ляпунова вида

Весьма удобным для анализа стационарных и нестационарных систем является метод Д. Шульца, изложенный в гл. XI. Воспользуемся этим методом и проанализируем устойчивость нелинейной системы, описываемой уравнением

Перепишем это уравнение в виде

Введем следующую переменную:

В результате этого получим

где принято

Сформируем функцию Ляпунова в виде

Пользуясь схемой на рис. XIV.4, при запишем

Подставим полученные значения в выражение для производной функции Ляпунова:

Положим, что тогда При такой подстановке член в выражении пропадает, если принять . В результате этого получим

Воспользуемся методом Д. Шульца (см. п. 2 гл. XI); тогда

Согласно (XI.41) получим

Рис. XIV. 4. Структурная схема нелинейной системы автоматического регулирования

Рис. XIV.5. Области устойчивых и неустойчивых состояний нелинейной системы регулирования по Ляпунову

По данной функции можно построить замкнутую кривую на плоскости (рис. XIV.5). Из рисунка видно, что при получается замкнутая кривая, которую в дальнейшем будем именовать предельным циклом. На этом же рисунке штриховыми линиями внутри предельного цикла показана фазовая траектория для устойчивого процесса, а вне замкнутого цикла — для неустойчивого.

Область устойчивости, найденная по этому методу, будет и при в то время как метод фазовой плоскости дает область устойчивости в диапазоне Последнее указывает на то, что метод Ляпунова при анализе устойчивости нелинейных систем является более общим.