9. СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ С УПРАВЛЯЮЩИМИ ЦВМ

Включение управляющих ЦВМ в системы автоматического регулирования переводит их в импульсный режим. При этом динамические характеристики управляющих ЦВМ, под которыми обычно понимают частотные, оказывают большое влияние на устойчивость и показатели качества процессов регулирования. Частотные характеристики определяются не только видом программы, реализуемой на ЦВМ в реальном времени, но и величиной такта обмена информацией между машиной и преобразователями.

Выполнение программ на управляющей ЦВМ в реальном времени приводит к введению временной задержки и эквивалентно появлению сомножителя в передаточных функциях программ вида

Для компенсации временнбй задержки в системах автоматического регулирования применяют программы дифференцирования (коррекции), которые также реализуются на управляющих ЦВМ. В результате этого на вычислительных машинах выполняют программы двух типов: регулирования и коррекции.

Рассмотрим различные числовые методы реализации программ фильтрации и упреждения на управляющих цифровых вычислительных машинах.

Сначала будем пользоваться числовыми методами интегрирования.

Для получения сравнительных данных по различным методам числового интегрирования используем дифференциальные уравнения первого порядка:

при нулевых начальных условиях

Метод Эйлера. Рекуррентное соотношение для интегрирования

где Т — период обмена информацией между ЦВМ и преобразователями.

Применив к данному выражению -преобразование, получим

откуда найдем передаточную функцию программы

С помощью подстановки получим частотные характеристики программы в первом приближении

Из выражения (XV.217) найдем вещественную и мнимую частотные характеристики программы интегрирования

Тогда логарифмические частотные характеристики программы интегрирования по методу Эйлера в реальном масштабе времени

На рис. XV.34, а построены по этим выражениям частотные характеристики при (крийая 1 — амплитуда, кривая 2 — фаза), при с (кривая 3 — амплитуда, кривая 4 — фаза) и при (для идеального интегратора) (кривая 5 — амплитуда, кривая 6 — фаза); отсюда видно, что с уменьшением периода Т амплитудные и фазовые искажения снижаются.

Метод трапеций. Интегрирование выполняют с помощью выражения

Рис. XV.34. (см. скан) Логарифмические амплитудные и фазовые частотные характеристики реализации программ интегрирования на управляющих ЦВМ в реальном масштабе времени по методам: а — Эйлера; б - трапеций;

где

Подставив соотношение (XV.220) в выражение (XV.219), получим

Отсюда следует, что передаточная функция программы

Воспользовавшись подстановкой путем несложных преобразований получим

откуда найдем

Пользуясь формулами (XV.224), определим

Соответствующие логарифмические частотные характеристики построены на рис. XV.34, 6 при с (кривая 1 — амплитуда, кривая 2 — фаза), при с (кривая 3 - амплитуда, кривая 4 — фаза) и при (для идеального интегратора) (кривая 5 — амплитуда; кривая 6 — фаза). Из рис. XV.34, б следует, что интегрирование по методу трапеций вносит меньшие фазовые искажения, чем интегрирование по методу Эйлера.

Метод Адамса—Башфорта.

Для интегрирования применим соотношение

откуда найдем передаточную функцию программы в виде

Частотные характеристики определим с помощью выражения

На основании выражений (XV.229) определим формулы для вычислений логарифмических амплитудной и фазовой частотных характеристик:

Частотные характеристики строятся по формулам (XV.230) при и . Из этих характеристик можно установить, что фазовая частотная характеристика программы интегрирования по методу Адамса—Башфорта совпадает с фазой идеального интегрирования и не вносит дополнительных фазовых запаздываний в систему. Амплитудные искажения из-за программы интегрирования по этому методу меньше, чем при применении методов Эйлера и трапеций.

Перейдем к числовым методам дифференцирования, для чего воспользуемся выражением

Рассмотрим методы простой и центральной разностей.

Метод простой разности.

Для реализации метода используем соотношения

Применив к данному выражению -преобразование, получим

Из выражения (XV.232) найдем передаточную функцию программы

или после подстановки

откуда после несложных преобразований получим

С помощью выражений (XV.235) нетрудно определить

Построенные по этим формулам частотные характеристики программы дифференцирования по методу простой разности приведены на рис. XV.35, а при (кривая 1 — амплитуда, кривая 2— фаза), при с (кривая 3— амплитуда, кривая 4 — фаза).

Методы центральной разности.

При этих методах выражение представим в виде

при нулевых начальных условиях. В выражении (XV.237) функцию а заменим интерполяционной формулой Стирлинга; тогда

где — значения функций в точках

Выражение (XV.238) можно переписать в виде

(кликните для просмотра скана)

Подставив полученные выражения для коэффициентов а, в формулу (XV. 239), найдем

С помощью ряда (XV.240) получим центральные разностные уравнения программ дифференцирования.

Для первой центральной разности

или

откуда нетрудно найти частотные характеристики в виде

или

Вычислим логарифмические частотные характеристики

На рис. XV.35, б построены логарифмические частотные характеристики при с (кривая 1 — амплитуда, кривая 2 — фаза), при (кривая 1 — амплитуда, кривая 2 — фаза). Как видно из сравнения рис. XV.35, а и б, первый метод центральной разности вносит меньшие амплитудные искажения в систему, чем метод простой разности. Фазовые искажения для данного метода отсутствуют.

Для второй центральной разности

или

откуда

и

На рис. XV.35, в построены логарифмические частотные характеристики программы дифференцирования по методу второй центральной разности при с (кривая 1 — амплитуда, кривая 2 — фаза), при с

(кривая 3 — амплитуда, кривая 4 - фаза). Из этого рисунка видно, что метод второй центральной разности имеет самые малые амплитудные искажения из всех рассмотренных в книге методов.

Пример XV.22. Определить передаточную функцию программы для управляющей ЦВМ, реализующей корректирующее устройство:

Для перехода от аналоговой формы представления корректирующего устройства к дискретной воспользуемся рассмотренными выше числовыми методами.

Так как степень числителя в выражении (XV.250) не ниже степени знаменателя, то можно использовать методы как числового интегрирования, так и дифференцирования. Фазоопережающая часть передаточной функции (XV.250) описывается дифференциальным уравнением

где — сигнал ошибки системы, поступающий на вход корректирующего устройства. Применив к данному уравнению метод простой разности, получим

Отсюда следует

Полученное соотношение является дискретным аналогом уравнения (XV.251). Фазозапаздывающая часть передаточной функции (XV.250) описывается дифференциальным уравнением

или

где — выходной сигнал корректирующего устройства.

Для интегрирования уравнения (XV.253) воспользуемся методом Эйлера. Согласно выражениям (XV.213), (XV.214) и с учетом соотношения (XV.253) запишем

Объединяя выражения (XV.252) и (XV.254), найдем рекуррентное соотношение для вычисления дискретных значений величины по текущим значениям ошибки в виде

Применим к данному выражению -преобразование; в результате получим

Отсюда найдем передаточную функцию программы, реализующей дискретное корректирующее устройство

С помощью подстановки получим частотные характеристики программы в первом приближении

Рис. XV.36. Логарифмические амплитудные и фазовые частотные характеристики программ управляющих ЦВМ

Из выражения (XV-258) найдем логарифмические частотные характеристики программы к

Логарифмические частотные характеристики аналогового корректирующего устройства определяются с помощью соотношения (XV.250) при

Построенные по выражениям (XV.259) и (XV.260) логарифмические амплитудные и фазовые частотные характеристики при с для двух значений Т изображены на рис. XV-36. Кривыми 1 и 2 показаны соответственно исходные амплитудная и фазовая частотные характеристики. Кривая 3 изображает амплитудную, а кривая 4 — фазовую частотные характеристики дискретного корректирующего устройства при с; кривые 5 и 6 соответственно те же характеристики при с. Из рис. XV.36 видно, что с уменьшением периода дискретности снижаются амплитудные и фазовые искажения, вносимые управляющей ЦВМ в систему автоматического регулирования [33].