8. МЕДЛЕННО ИЗМЕНЯЮЩИЕСЯ ПРОЦЕССЫ В АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМАХ

В предыдущих параграфах данной главы анализ нелинейных систем проводился в предположении, что установившиеся периодические процессы в этих системах возникают при выполнении условия гармонического баланса лишь для основной частоты автоколебаний, а остальные явления, вызванные нелинейностью, не учитывались. Такой подход к исследованию автоколебаний во многих нелинейных системах является одним из наиболее распространенных, и обеспечивает при расчетах хорошее совпадение с экспериментальными данными.

Однако в нелинейных системах возможны и более сложные процессы, когда наряду с автоколебаниями наблюдаются и колебания другой частоты, например, при наличии изменения формы у несимметричных нелинейностей (рис. XVI.42, а); при симметричных нелинейностях и подаче низкочастотных или высокочастотных периодических воздействий (рис. XIV.42, б) [59]. К этим процессам также относятся установление субгармонических колебаний в релейных системах и процесс синхронизации, когда автоколебания срываются и на выходе нелинейной системы устанавливается периодический процесс с частотой входного воздействия более высокой, нежели частота автоколебаний.

Предположим, что внешние воздействия или представляют собой медленно изменяющиеся процессы по сравнению с автоколебаниями, и их можно считать постоянными внутри каждого периода колебаний. Тогда при соблюдении условия фильтра на входе нелинейности имеем

где постоянная составляющая автоколебаний, определяющая смещение центра колебаний на входе нелинейности.

Рис. XIV.42. Структурные схемы релейных систем автоматического регулирования: а — при несимметричной релейной характеристике; б — при подаче низкочастотных или высокочастотных периодических воздействий

За счет постоянной составляющей при разложении нелинейной, функции в ряд Фурье получим следующие формулы для вычисления коэффициентов гармонической линеаризации:

В соответствии с этим двузначную нелинейность можно представить в виде

и однозначную

В выражениях (XIV.133) и (XIV.134) принято, что — периодическая составляющая. Для получения условий гармонического баланса в случае двух составляющих при несимметричной нелинейности выражение (XIV.96) перепишем в виде

где — эквивалентные передаточные функции нелинейной части системы для двухчастотного входного сигнала. Из решения системы уравнений (XIV. 135) определяем смещение центра колебаний частоту и амплитуду автоколебаний

Разделение общего уравнения на два [в форме (XIV. 135) для постоянной и периодической составляющих] не означает применения принципа суперпозиции к нелинейной системе, так как функция зависит от решения второго уравнения (XIV. 135).

Е. П. Попов предложил при небольших интервалах изменения функции производить обычную линеаризацию функции смещения [59] в виде

Коэффициент принято называть нелинейным коэффициентом усиления медленной составляющей.

В табл. 3 и 4 (прил. VII) приведены формулы для определения коэффициентов гармонической линеаризации типовых нелинейностей при постоянной составляющей а в табл. 5 (прил. VII) — формулы для определения нелинейных коэффициентов усиления медленно изменяющихся составляющих, полученные дифференцированием функции (из табл. 3 и 4 прил. VII) по Эти формулы используют при практических расчетах.

Пример XIV.10. Определить частоту амплитуду автоколебаний и функцию смещения в системе автоматического регулирования с несимметричной релейной характеристикой (рис. XIV.42, а), если

где

Решим этот пример двумя способами.

1-й способ. По табл. 3 и 4 прил. VII находим

Из выражений (XIV. 135) запишем

Эквивалентные передаточные функции и представим как отношение соответствующих сигналов на выходе нелинейности к входным сигналам, т. е.

и

Для линейной части системы на рис. XIV.43, а построен годограф с помощью которого определяем частоту автоколебаний В формулы (XIV.140) и (XIV.141) подставляем полученные числовые значения; тогда получим

По формулам (XIV.144) и (XIV.145) на рис. XIV.43, б строим зависимости величины смещения от амплитуды автоколебаний А (соответственно кривые 1 и 2). Точка пересечения этих кривых определит значения амплитуды автоколебаний и смещения

Рис. XIV.43. Графическое определение смещения и амплитуды автоколебаний в релейной системе

Рис. XIV.44. (см. скан) Логарифмические амплитудные и фазовые частотные характеристики линейной части системы с нанесенными логарифмическими обратными характеристиками

2-й способ. На рис. XIV.44 построим логарифмические амплитудную Н и фазовую 0 частотные характеристики линейной части системы. Пересечение вертикали с осью частот дает После этого построим шаблоны для нелинейности. Сплошными линиями на рис. XIV.45 представлен шаблон для и штриховыми — для Наложим этот шаблон на рис. XIV.44 так, чтобы ось абцисс шаблона совпала с осью 0 дБ, и будем перемещать его до тех пор, пока точка С, полученная пересечением штриховой кривой с некоторым значением с линией дБ, точка В, расположенная на пересечении сплошной линии с тем же значением и кривой Н, и точка образованная пересечением линии — 180° с кривой 0, не окажутся на одной вертикали. Как видно из рис. XIV.46, в этом случае условиям (XIV. 140) и (XIV. 141) удается удовлетворить при .

С помощью метода гармонической линеаризации можно исследовать точность автоколебательных систем автоматического регулирования. Как известно, величина постоянной составляющей в статической системе автоматического регулирования определяет статическую ошибку, а в астатической системе — установившуюся ошибку при постоянной скорости. Таким образом, определяя значение при регулярных воздействиях, можно исследовать точность автоколебательных систем.

Рис. XIV.45. Шаблон с логарифмическими обратными характеристиками

Рис. XIV.46. Структурная схема релейной следящей системы с внутренней обратной связью

Запишем гармонически линеаризованное уравнение для одноконтурной системы с одной нелинейностью в виде

Это уравнение представим двумя зависимостями (по постоянной и колебательной составляющим) для статических систем

где и для астатических систем

здесь

Пример XIV.11. Определить зависимости для постоянной составляющей частоты и амплитуды автоколебаний в релейной следящей системе (рис. XIV.46) от ее параметров управляющего и возмущающего воздействий. Примем, что управляющее воздействие а возмущающее Будем считать: принимает значения 0,05; 0,075 и 0,1 рад.

Составим характеристическое уравнение реальной следящей системы в виде

Подставив в уравнение (XIV. 149) , найдем

Отсюда нетрудно определить частоту и амплитуду симметричных автоколебаний:

Для однозначных нечетных нелинейностей имеем

откуда получим

и

Перед корнем выражения (XIV. 155) взят знак плюс, обеспечивающий равенство при Введем в выражение (XIV.155) следующее обозначение:

тогда получим

Из выражений (XIV. 156) и (XIV. 157) найдем

Полученная формула справедлива при

Для того чтобы найти зависимость смещения от воздействий, необходимо записать уравнение для следующей системы в виде

Из структурной схемы (рис. XIV.46) можно определить, что релейная система является астатической по управляющему и статической по возмущающему воздействиям. В этом случае, для установившегося режима имеем

Функцию находят после подстановки в выражение

значения полученного из формулы (XIV. 155), т. е.

Подставляем выражение (XIV.162) в уравнение (XIV.160); тогда

Определив из выражения (XIV. и подставив его в формулу (XIV. 158), найдем

Рис. XIV.47. Зависимости

Подставив в выражения (XIV.163) и (XIV.164) соотношение (XIV. 152), получим

и

Примем, что параметры релейной следящей системы имеют следующие значения:

После их подстановки в выражения (XIV. 165) и (XIV.166) найдем

На рис. XIV.47 построены зависимости от