4. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ГАРМОНИЧЕСКОЙ ЛИНЕАРИЗАЦИИ ДЛЯ АНАЛИЗА УСТОЙЧИВОСТИ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ

Сущность метода гармонической линеаризации заключается в отыскании периодического решения на входе нелинейного элемента, разложении сигнала на выходе нелинейного элемента в ряд Фурье и его замене первой гармоникой. Такая замена справедлива, если система автоматического регулирования является фильтром низких частот, хорошо Гасящим колебания высших гармоник [5,15,60].

Рассмотрим блок-схему релейной системы автоматического регулирования (рис. XIV.22), принципиальная схема которой изображена на рис. XIV.1, а. На входе релейного элемента имеется синусоидальный сигнал вида

Рис. XIV.22. Блок-схема релейной системы регулирования температуры печи

Сигнал на выходе трехпозиционного релейного элемента с гистерезисом (или двузначной нелинейности) обозначим через а его приближенное значение через . В этом случае имеем

где — коэффициенты гармонической линеаризации.

Ошибку в выходном сигнале относительно его приближенного значения запишем в виде

Функция является периодической с периодом а ее среднее квадратическое значение удовлетворяет соотношению

Подставив в формулу (XIV.65) выражения (XIV.62) — (XIV.64), получим

Запишем условия минимума средней квадратической ошибки при замене точного значения выходного сигнала приближенным:

С учетом выражения (XIV.66) найдем

откуда

или

Из выражений (XIV.70) имеем

откуда

Полученные выражения (XIV.72) и (XIV.73) для коэффициентов гармонической линеаризации обеспечивают минимум средней квадратической ошибки при замене точной функции ее приближенным значением и являются формулами для определения первых коэффициентов ряда Фурье [49].

Для нелинейностей без гистерезиса (однозначных) тогда имеем

Линеаризуем однозначную нелинейность Заменив ее выражением (XIV.74), получим

Подставив в полученную формулу соотношение (XIV.61), найдем

или

Следовательно, коэффициент гармонической линеаризации представляет собой коэффициент усиления в виде отношения амплитуды первой гармоники выходного сигнала у к входному сигналу х, т. е.

На рис. XIV.23 показано графическое определение коэффициента гармонической линеаризации для однозначной нелинейности.

Как видно из рис. XIV.23, синусоидальный вход сигнал с амплитудой А образует на выходе нелинейности сигнал Заменяя этот сигнал первой гармонической составляющей, получим

где амплитуда первой гармоники выходного сигнала.

В этом случае коэффициент гармонической линеаризации, определяемый по формуле (XIV.78), есть наклон прямой 1, равный а При изменении амплитуды входного сигнала до А коэффициент гармонической линеаризации — наклон прямой 2 — уменьшается до Отсюда следует,

Рис. XIV.23. Определение козфициента гармонической линеаризации идеальной релейной характеристики с воной нечувствительности

что при таком подходе свойства нелинейного элемента эквивалентно отображаются в изменении коэффициента гармонической линеаризации в зависимости от амплитуды входного сигнала.

В соответствии с формулой (XIV.78) нелинейность в дифференциальных уравнениях можно представить в виде следующего линеаризованного соотношения

Из соотношения (XIV.79) видно, что с изменением амплитуды входного сигнала изменяется коэффициент гармоничёскбй линеаризации, а следовательно, изменяется и значение

Составим нелинейные дифференциальные уравнения для релейной системы автоматического регулирования температуры печи а виде

Пользуясь методом гармонической линеаризации, приведем данное нелинейное дифференциальное уравнение к гармонически линеаризованному. Вместо функции подставим коэффициент а тогда получим

Последнее уравнение, хотя и является линеаризованным, однако оно сохраняет основные свойства нелинейного уравнения, так как коэффициент а изменяется в зависимости от амплитуды А. В этом и заключается основное отличие гармонической линеаризации нелинейных уравнений от обычной, линеаризации, рассмотреннной в гл. III.

Перейдем к замене двузначной нелинейной функции линеаризованным выражением. Для этого представим зависимость в виде

где

Из уравнения (XIV.61) найдем

откуда

Кроме того, из выражения (XIV.61) следует, что

Подставим выражения (XIV.84) и в уравнение (XIV.82); в результате получим следующее линеаризованное соотношение:

Первый член соотношения (XIV.86) имеет тот же смысл, что и в уравнении (XIV.79), а второй член определяет запаздывание, зависящее от производной входного сигнала.

Соотношение (XIV.86) можно переписать и в следующем виде:

Пйльзуясь Соотношением (XIV.87), гармонически линеаризуем нелинейное уравнение (XIV.80):

Дифференциальное уравнение (XIV.88) является гармонически линеаризованным.

По аналогии с передаточными функциями линейных звеньев введем понятие эквивалентной передаточной функции нелинейного двузначного звена

бднозначного нелинейного звена

Соотношение (XIV.89) можно переписать и в виде

где — эквивалентная амплитудная характеристика нелинейного звена; — эквивалентная фазовая характеристика нелинейного звена.

Функции связаны с коэффициентами гармонической линеаризации следующими зависимостями:

Полученные зависимости (XIV.92) и (XIV.93) справедливы для двузначных нелинейностей. Для однозначных нелинейностей при имеем

и

Графический способ определения частот и амплитуд автоколебаний в нелинейных системах (метод шаблонов) [49]. В основу метода шаблонов графического определения амплитуд и частот колебаний положено условие гармонического баланса. Для его нахождения воспользуемся характеристическим уравнением нелинейной системы, структурная схема которой изображена на рис. XIV.24, а:

где — передаточная функция линейной части системы; — эквивалентная передаточная функция нелинейной части системы.

Рис. XIV.24. Структурные схемы релейных (нелинейных) систем автоматического регулирования: а — с линейной и нелинейной частями в прямой цепи; б — с нелинейной частью в прямой цепи и линейной частью в цепи главной обратной связи; в — с линейной частью в прямой цепи и нелинейной частью в цепи главной обратной связи

Передаточную функцию представим в виде

где — амплитудная частотная характеристика линейной части системы; — фазовая частотная характеристика линейной части разомкнутой системы.

Подставим выражения (XIV.91) и (XIV.97) в уравнение (XIV.96); тогда получим

откуда нетрудно найти, что

или

Из уравнения (XIV. 100) получим следующие условия гармонического баланса:

или

Из соотношений (XIV. 102) видно, что при одновременном выполнении условий баланса для амплитуд и фаз в системе автоматического регулирования возникают автоколебания.

Одновременность выполнения условий (XIV. 102) графически выражается в том, что точки пересечения амплитудных характеристик и фазовых характеристик лежат на одной вертикали. Таким образом с помощью графического решения уравнений (XIV. 102) можно определить частоту и амплитуду А автоколебаний в системе с двузначной нелинейностью.

В системе с однозначной нелинейностью имеем

Условие (XIV. 103) возникновения периодического режима для такой системы заключается в одновременном пересечении амплитудных характеристик и фазовой характеристики с линией .

Рис. XIV.25. Шаблоны для нелинейных элементов: а — идеального реле; б - реле с зоной нечувствительности; в — реле с гистерезисом; г - реле с гистерезисом и зоной нечувствительности

В табл. XIV.2 и XIV.3 даны формулы для определения характеристик и и приведены шаблоны Пользуясь этими шаблонами и логарифмическими амплитудной и фазовой частотными характеристиками линейной части системы регулирования, определяют периодические решения. Для этого шаблон с характеристиками построенными на полулогарифмической бумаге (рис. XIV.25), накладывают на. частотные характеристики совмещая ось частот с осью относительных амплитуд Перемещая шаблон вдоль оси частот, определяют точки пересечения кривых Если точки пересечения амплитудных и фазовых характеристик находятся на одной вертикали, то в системе наблюдаются периодические режимы.

На рис. XIV.26 показаны различные положения шаблонов относительно частотных характеристик линейной части системы. При положении шаблона, показанном на рис. XIV.26, а, отсутствуют точки пересечения амплитудных и фазовых характеристик, следовательно, в такой системе регулирования не могут существовать периодические колебания. Перемещаем шаблон влево до тех пор, пока точки пересечения не окажутся на одной вертикали (рис. XIV.26, б). При этом в релейной системе возникают периодические колебания с частотой При дальнейшем перемещении шаблона влево снова находятся две точки пересечения (рис. XIV.26, в), соответствующие периодическому колебанию с частотой , наконец, при положении шаблона, показанном на рис. XIV.26, г, точки пересечения амплитудных и фазовых характеристик не лежат на одной вертикали, что означает отсутствие автоколебаний в системе.

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

Рис. XIV.26. (см. скан) Логарифмические амплитудная и фазовая частотные характеристики линейной части системы с четырьмя различными положениями шаблонов для релейного элемента с гистерезисом и зоной нечувствительности

Наличие двух частот колебаний обусловливает необходимость определения, какая из этих частот соответствует автоколебаниям, а какая — неустойчивым колебаниям. Для решения этой задачи на одном графике строят амплитудно-фазовую характеристику и обратную эквивалентную характеристику нелинейного звена (рис. XIV.27). Эти характеристики получают путем перестроения логарифмических характеристик, показанных на рис. XIV.26.

Из рис. XIV.27 видно, что характеристика пересекает амплитудно-фазовую характеристику в двух точках (точка соответствует точкам точка — точкам Для определения характера

Рис. XIV.27. Определение периодических решений в релейной системе автоматического регулирования

колебаний воспользуемся критерием предложенным Е. П. Поповым [60]. В релейной (нелинейной) системе автоматического регулирования возникают автоколебания (устойчивые периодические решения), когда годограф не охватывает точку, расположенную на обратной эквивалентной характеристике нелинейного звена, если эта точка получена путем малого увеличения амплитуды на А А (на рис. XIV.27 эти точки обозначены как Иначе говоря, если с ростом амплитуды характеристика в точке пересечения кривых выходит за годограф то в системе наблюдаются автоколебания. На рис. XIV.27 эта частота обозначена Если с ростом амплитуды точка охватывается годографом то в системе возникают неустойчивые колебания. На рис. XIV.27 эта частота обозначена .

Для установления характера колебаний можно пользоваться следующим критерием, предложенным для систем с двузначными нелинейностями [40]. В нелинейной системе автоматического регулирования с двузначными нелинейностями возникают автоколебания, если с ростом амплитуды А точка пересечения характеристик лежащая на одной вертикали с точкой пересечения характеристик — находится вне области, образованной линиями и осью частот и, наоборот, в нелинейной системе колебания будут неустойчивыми, если с ростом амплитуды указанная точка пересечения будет входить внутрь указанной области.

На рис. XIV.26, б точка, соответствующая увеличенному значению амплитуды, будет находиться в области между амплитудной частотной характеристикой системы и осью частот; следовательно, колебания с частотой со будут неустойчивыми.

Рассмотрим колебания с частотой (см. рис. XIV.26, в). При увеличении амплитуды А точка выйдет из области, ограниченной амплитудной частотной характеристикой и осью частот, и, следовательно, колебания с частотой соответствуют автоколебаниям в релейной системе.

При анализе устойчивости нелинейных систем регулирования с нелинейностью типа насыщения можно пользоваться следующим критерием для определения типа колебаний. В системе регулирования наблюдаются автоколебания, если в точке пересечения логарифмической фазовой характеристики с линией производная и, наоборот, если в точке пересечения то в системе наблюдаются неустойчивые колебания.

Построение областей устойчивых и неустойчивых состояний в релейных системах. Для построения областей устойчивых и неустойчивых состояний релейной системы будем изменять параметры ее линейной и нелинейной частей. Накладывая соответствующие шаблоны на логарифмические характеристики системы, находим значения частот и амплитуд А и Откладывая по оси абсцисс требуемые значения параметров К системы, а по оси ординат частоту (рис. XIV.28, а) или амплитуду (рис. XIV.28, б) колебаний, строим зависимости частот и амплитуд колебаний от параметров системы. Частоты и амплитуды устойчивых колебаний (автоколебаний) обозначим стрелками, направленными к линии, а неустойчивых колебаний — стрелками, направленными от линии.

Проведем вертикальную прямую через точку А и прямую I—II через точку тогда получим две области: первая — между осью ординат и прямой (II—II) образует область устойчивых состояний; вторая — от прямой I—I (II—II) вправо до бесконечности образует область неустойчивых состояний и автоколебаний (рис. XIV.28).

Рис. XIV.28. Области устойчивых и неустойчивых состояний по параметрам для релейной системы автоматического регулирования

Рис. XIV.29. Структурные схемы релейных систем автоматического регулирования: а — без корректирующего устройства; б — с последовательным корректирующим устройством

Пример XIV.8. Определить области устойчивых и неустойчивых состояний в релейной следящей системе с реальным трехпозиционным релейным элементом (рис. XIV.29, а) по параметру К. На рис. XIV.30, а построены логарифмические амплитудная и фазовая частотные характеристики при и показано одно из положений шаблона. Точки пересечения частотных характеристик и шаблона соответствуют автоколебаниям с частотой Изменим параметр линейной части К до (рис. XIV.30, б) и, перемещая шаблон, найдем точки соответствующие автоколебательному режиму и Меняя несколько раз значения получим целый ряд значений .. По этим данным строим области устойчивых и неустойчивых состояний в зависимости от параметра К (рис. XIV.31, а, б). На этом рисунке показано также предельное значение коэффициента усиления котором в релейной системе регулирования еще могут возникать устойчивые колебания.

Рис. XIV.30. Логарифмические амплитудная и фазовая частотные характеристики линейной части с двумя значениями коэффициента усиления и двумя положениями шаблона

Рис. XIV.31. Области устойчивых и неустойчивых состояний релейной - системы автоматического регулирования по нескольким значениям параметра К: а — по частоте автоколебаний; б - по амплитуде автоколебаний

Рис. XIV.32. Логарифмические амплитудно-фазовые частотные характеристики линейной части системы и характеристика в системе координат амплитуда—фаза

Расширение областей устойчивых состояний в релейных системах имеет большое практическое значение, так как позволяет повысить точность их работы. С этой целью применяют последовательные или параллельные корректирующие устройства, включаемые в релейную систему. Для того чтобы более наглядно показать влияние корректирующих устройств на релейные системы, необходимо построить характеристики в системе координат амплитуда—фаза [76].

На рис. XIV.32 построены соответствующие характеристики при (кривая 1 — логарифмическая амплитудно-фазовая характеристика линейной части, а кривая 2 — характеристика

Пересечение этих характеристик указывает на наличие периодических режимов в системе регулирования. Включим в систему последовательное корректирующее устройство (см. рис. XIV.29, б) с передаточной функцией

В результате получим логарифмическую амплитудно-фазовую характеристику 3 рис. XIV.32, которая не пересекается с кривой 2, что указывает на отсутствие периодических режимов в рассматриваемой релейной системе.