2. СИНТЕЗ ДИСКРЕТНО-НЕПРЕРЫВНЫХ СИСТЕМ ПРИ НАЛИЧИИ ПОЛЕЗНОГО СИГНАЛА И ПОМЕХИ

Рассмотрим две постановки задачи синтеза дискретно-непрерывных систем автоматического регулирования. Первая — определить оптимальную импульсную переходную функцию системы, на раздельные входы которой поступают управляющий сигнал в виде двух составляющих, одна из них является полиномом степени а другая — стационарной случайной функцией и стационарной случайной помехой Вторая задача — по заданным корреляционным функциям полезного сигнала и помехи найти передаточную функцию корректирующего устройства если неизменяемая часть представляет собой известную непрерывную передаточную функцию

Первую задачу синтеза будем решать, пользуясь корреляционными функциями случайной составляющей полезного сигнала и помехи а также идеальной (желаемой) импульсной переходной функцией обеспечивающей заданную точность воспроизведения полезного сигнала с коэффициентами ошибок Со, (см. гл. XV) за установленное время протекания переходного процесса

Допустим, что идеальная система на выходе имеет сигнал

где

здесь означает операцию получения разности порядка.

Сигнал на выходе реальной системы

а ошибка воспроизведения сигнала

Будем считать, что среднее значение ошибки должно быть равно нулю; тогда получим

откуда найдем

Пользуясь выражением (XVIII.4), запишем

Выражение (XIX.26) с учетом соотношений (XIX.23), (XIX.24) и (XIX.27) примет вид

где

Из выражения (XIX.28) можно найти ограничение на импульсную переходную функцию.

Запишем эти ограничения в виде

здесь

Выражение для ошибки (XIX.25) с учетом ограничений (XIX.30) примет вид

Возведем выражение (XIX.31) в квадрат; тогда получим

При отсутствии корреляционных связей между сигналами выражение (XIX.32) можно осреднить и записать в виде

Для того чтобы из выражения (XIX.33) определить которому соответствует необходимо составить функционал

Придадим импульсной переходной функции вариацию тогда получим

Необходимым условием, при котором импульсная переходная функция обеспечит минимум среднего квадратического значения ошибки, будет (см. гл. XVIII)

Применив это выражение к (XIX.35), получим

Если сумме корреляционных функций

соответствует дробно-рациональная спектральная плотность

где звездочкой обозначены выражения, аргументы которых сдвинуты на Т, то

Здесь функция Грина является решением уравнения

Имея в виду (XIX.39), выражение (XIX.37) перепишем следующим образом:

откуда найдем

где — корни уравнения

Применив к левой и правой частям выражения (XIX.41) оператор и имея в виду соотношение (XIX.40), получим

где порядок многочлена

Коэффициенты и определяются следующим образом. Импульсную переходную функцию (XIX.42) и выражение (XIX.29) подставим в интегральное уравнение (XIX.37). В результате решения системы уравнений получим искомые коэффициенты. После подстановки найденных коэффициентов в выражение (XIX.42) получим функцию