4. ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

Во всех предыдущих параграфах этой главы предполагалось, что управляющие и возмущающие воздействия являются определенными функциями времени. Однако для систем автоматического управления, работающих в реальных условиях, характерно, что эти воздействия носят случайный характер и принципиально непредсказуемы.

Рассмотрим, например, работу следящей системы, управляющей антенной радиолокатора. Для этой системы управляющим воздействием является положение цели, а возмущающими воздействиями можно считать ветровые нагрузки на антенну, отклонения луча от направления на цель из-за рефракции в атмосфере, собственные шумы в усилительном тракте системы, помехи от источников питания и т. п. Все эти процессы обусловлены множеством взаимодействующих причин и носят настолько сложный характер, что их нельзя представить какой-либо заданной функцией времени. То же самое можно сказать и относительно управляющего воздействия. На практике его нельзя считать типовым, например ступенчатым, линейно-растущим, синусоидальным или каким-либо регулярным сигналом. Реально цель маневрирует, поэтому ее положение в любой последующий момент не может быть точно предсказано. На этом маневрирование накладывается постоянное блуждание отражающей точки по корпусу цели.

Таким образом, сигналы управления и возмущения в реальных условиях являются случайными процессами. Случайным, или стохастическим процессом

называют такую функцию времени которая при каждом значении аргумента является случайной величиной. Если вместо времени употребляют другую независимую переменную, то используют термин случайная функция. При многократном воспроизведении условий протекания случайного процесса последний принимает каждый раз различные конкретные значения. Эти значения как функции времени называют реализациями случайного процесса. Типичный вид нескольких реализаций стохастического процесса ошибки угловой координаты цели, отслеживаемой радиолокационной станцией, представлен на рис. XIII. 14.

Математическое описание случайного процесса. При фиксированном значении аргумента случайный процесс является случайной величиной, полное описание которой дает функция распределения

т. е. вероятность того, что в данный момент случайная величина примет значение, меньшее Как известно из теории вероятностей, вместо функции распределения часто удобнее пользоваться плотностью вероятности, являющейся ее производной (в обобщенном смысле):

Если зафиксировать два момента времени то значения случайного процесса образуют систему двух случайных величин или двумерный случайный вектор. Для его полного описания требуется знать двумерную функцию распределения

Рис. ХIII.14. Стохастический процесс ошибки измерения угловой координаты цели, отслеживаемой радиолокационной станцией

или двумерную плотность

которые зависят от как от параметров.

Для более подробного описания случайного процесса в произвольные моменты времени аналогично вводятся функции распределения и плотности более высоких порядков. Таким образом, полное статистическое описание случайной функции (процесса) даетесконечная последовательность ее функций распределения:

или последовательность их производных

Каждый из членов этих последовательностей имеет обычные свойства функций распределения или соответственно плотностей. Кроме того, каждый следующий член последовательности определяет все предыдущие. Например, если положить то

аналогичные формулы имеем и для любых других моментов времени.

Это условие называют условием согласованности семейства функций распределения. Справедливо также условие симметрии:

В общем случае плотности или функции распределения более высокого порядка не определяются плотностями или функциями более низких порядков.

Однако часто полезно рассматривать так называемый абсолютно случайный процесс, значения которого независимы в совокупности для любых Для такого процесса плотность распределения любого порядка определяется через одномерную:

Такой процесс является математическим упрощением, поскольку при достаточно близких значениях значения любого реального процесса близки, и, следовательно, зависимы. Другим крайним случаем является вырожденный, или сингулярный процесс, определяемый одной или несколькими случайными величинами; например,

где — случайная величина; — известные константы. Такой процесс становится полностью известным, если можно измерить его в какой-либо момент времени. В более общем случае сингулярный случайный процесс характеризуется совокупностью случайных величин например,

где — обычные (детерминированные функции времени).

Рис. XIII.15. Возможные реализации двух случайных функций: а — с высокочастотными составляющими; б - с низкочастотными составляющими

Моментные функции. В практических задачах обычно пользуются более простыми характеристиками случайных процессов — моментными функциями. Моментом первого порядка или математическим ожиданием процесса называют выражение

Если эту функцию рассматривать в зависимости от то около среднего значения функции будут группироваться все реализации случайного процесса (рис. XIII.15).

Математические ожидания более высоких степеней носятназвания начальных моментов порядка

Случайная функция имеет нулевое среднее значение и называется центрированной. Центральным моментом -порядка процесса называется математическое ожидание степени центрированного процесса

Меру рассеяния значений случайного процесса относительно математического ожидания его определяет момент второго порядка, называемый чаще дисперсией:

Однако характеристики случайного процесса, основанные на первой плотности не отражают изменения реализаций во времени. Например, два процесса с одной и той же первой плотностью (рис. XIII. 15, а и б) различаются по скорости изменения реализаций, т. е. по степени взаимосвязи между двумя значениями, принимаемыми в одной реализации в различные моменты времени. Для описания временной внутренней структуры случайных процессов используют корреляционную функцию

Эту функцию часто называют также автокорреляционной, или ковариацией, она играет основную роль в теории случайных процессов.

Легко показать, что корреляционная функция симметрична относительно своих аргументов а при ее значение равно дисперсии случайного процесса . В самом деле,

и

Для характеристики точности систем автоматического регулирования удобно использовать нецентрированную корреляционную функцию:

называемую также вторым начальным моментом процесса.

Связь между устанавливается следующими преобразованиями:

При средний квадрат процесса будет

В системах автоматического регулирования часто действует несколько случайных возмущающих или управляющих сигналов, независимых или взаимосвязанных. Мерой взаимосвязи двух случайных процессов служит взаимная корреляционная функция

где — совместная плотность вероятности для независимых процессов

Для взаимной корреляционной функции справедливо равенство

Теория случайных процессов, в которой используются лишь моменты первого и второго порядков называется корреляционной теорией. Она была создана основополагающими работами А. Н. Колмогорова [38, 72], Д. Я. Хинчина [81], Н. Вииера. Большой вклад в ее развитие внесли советские ученые В. С. Пугачев [62], В. В. Солодовников [68 ]и др.

Стационарные случайные процессы. При рассмотрении различных случайных процессов выделяют группу процессов, статистические свойства которых не изменяются при сдвиге во времени. Такие процессы называются стационарными. Рассматривая множество реализаций случайного процесса, приведенного на рис. XIII. 14, можно предположить, что в данном случае начало отсчета времени может быть выбрано произвольно, т. е. налицо стационарный процесс. Напротив, на рис. XIII. 15, очевидно, имеем примеры нестационарных процессов.

Исследование систем, случайные процессы в которых стационарны, значительно проще, чем исследование систем с нестационарными процессами. Однако процессы во многих системах регулирования можно приближенно рассматривать как стационарные. Это имеет большое прикладное значение в теории стационарных случайных процессов.

По определению стационарного случайного процесса его математическое ожидание должно быть постоянно при сдвиге аргумента на любой тервал Т:

а корреляционная функция удовлетворяет соотношению

Полагая находим, что корреляционная функция стационарного процесса зависит только от разности отсчетов

где

Эргодические свойства случайных процессов. Если мы имеем совокупность, или, как говорят, ансамбль реализаций, то математическое ожидание и корреляционная функция получаются усреднением по ансамблю реализаций случайного процесса, т. е. «поперек» процесса в одном или соответственно двух его сечениях. Интересно рассмотреть также результаты усреднения реализаций стационарного процесса по времени вдоль оси на интервале , определив эту операцию естественным образом:

Эта величина различна для разных реализаций случайного процесса и сама является случайной. Можно показать, что ее математическое ожидание для стационарного процесса равно . В то же время дисперсия этой величины, как показывают непосредственные расчеты,

и при стремится к нулю при условии, что

Иными словами, при выполнении (XII 1.125) почти для всех реализаций среднее значение по времени становится практически неслучайным и, как говорят, сходится в среднем квадратическом к математическому ожиданию процесса

что принято записывать в виде

Это свойство называется эргодическим свойством процесса по среднему значению, а условие (XIII. 125) — условием эргодичности процесса по

Для многих стационарных процессов справедливо и более общее свойство эргодичности по отношению к корреляционной функции:

Рис. XIII.16. Структурная схема коррелятора

Условия эргодичности процесса по , сформулированные В. С. Пугачевым [62], содержат более высокие моменты случайного процесса и здесь не приводятся.

Свойства эргодичности случайных процессов позволяют заменить усреднение по множеству реализаций, практически редко осуществимое, усреднением по времени, взятым по одной реализации, когда Т велико..

Не все стационарные процессы имеют эргодические свойства. Например, процесс, все реализации которого есть случайные величины, не изменяющиеся во времени, как легко убедиться, неэргодичен. Отсюда следует, что физический смысл эргодичности заключается в «хорошей перемешиваемости» реализаций случайного процесса. Поскольку это имеет место практически во всех приложениях, в дальнейшем будем предполагать рассматриваемые процессы эргодическими.

Для таких процессов можно экспериментально определить среднее значение и корреляционную функцию процесса с помощью специальных приборов — корреляторов. Принцип действия корреляторов ясен из рис. XIII.16.

Подавая на вход коррелятора единичный сигнал, на его выходе при достаточно большом времени интегрирования Т будем иметь среднее значение процесса х, приблизительно совпадающее с его математическим ожиданием Если же то в результате будем иметь второй начальный момент по которому легко определить и корреляционную функцию.