4. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СТРУКТУРНЫХ СХЕМ

Для упрощения структурных схем, получения передаточных функций всей разомкнутой системы, передаточных функций замкнутой системы по ошибке и выходному сигналу применяют структурные преобразования. Структурные преобразования основаны на принципе суперпозиции и поэтому применимы только к линейным системам х.

Довольно часто структурные преобразования позволяют привести исходную многоконтурную схему к простейшей объединенной одноконтурной системе, называемой расчетной схемой.

Рассмотрим несколько правил преобразования структурных схем. На рис. IX. 10, а показана исходная структурная схема, а на рис. IX. 10, б — преобразованная структурная схема, полученная путем перестановки передаточных функций. Справедливость перестановки передаточных функций следует из формулы

Покажем, что сведение нескольких последовательно соединенных передаточных функций образует одну объединенную передаточную функцию. В этом случае исходная схема, состоящая из трех последовательно соединенных функций, показана на рис. IX. 10, в, а преобразованная — на рис. IX. 10, г. Из рис. IX. 10, в следует:

Перемножив правые и левые части выражения (IX. 107), получим

где — объединенная передаточная функция последовательно соединенных передаточных функций.

Перейдем к сведению нескольких параллельно соединенных передаточных функций в одну

Рис. IX.10. (см. скан) Некоторые схемы структурных преобразований линейных систем

объединенндю передаточную функцию. Исходная схема изображена на рис. IX. 10,3, а преобразованная — на рис. IX. 10, е.

Из схемы, показанной на рис. IX. 10, д, следует

Подставим в уравнение (IX. 109) выражения

тогда получим

но

т. е.

Рассмотрим объединение передаточных функций в контуры с жесткой обратной связью и гибкой обратной связью. Исходная схема контура с жесткой обратной связью показана на рис. IX. 10, ж, а преобразованная — на рис. IX. 10, з. Для доказательства справедливости подобной замены запишем уравнение для элемента сравнения в виде

но

откуда

Подставив выражение (IX. 113) в формулу (IX. 112), найдем

Из уравнения (IX. 114) имеем

При положительной обратной связи выражение примет вид

Контур с гибкой обратной связью показан на рис. IX. 10, и, преобразованная схема — на рис. IX. 10, к. По аналогии с предыдущим доказательством имеем

но

Подставив эти выражения в формулу (IХ.117), получим

откуда

При наличии положительной обратной связи

Перейдем к преобразованиям структурных схем путем переноса линий связи. Исходная схема показана на рис. IX. 10, л, а преобразованная, полученная за счет переноса линии связи до звена, — на рис. IX. 10, м. Для обеих схем справедливо соотношение

что указывает на правильность выполненного структурного преобразования.

На рис. IX. 10, и показана исходная схема, а на рис. IX. 10, о — преобразованная схема, полученная переносом линии связи за звено.

Для схемы, представленной на рис. IX. 10, н, справедливо соотношение

для преобразованной схемы (рис. IX.10, м)

откуда получим

что указывает на справедливость данного структурного преобразования.

Рассмотрим теперь перенос сравнивающего элемента до звена (рис. IX. 10, п). Преобразованная таким образом схема показана на рис. IX. 10, р.

Для сравнивающего звена исходной схемы имеем

но

Подставив соотношение (IX. 125) в уравнение (IX. 124), получим

По преобразованной схеме (рис. IX. 10, р) найдем, что

причем

Подставим эти соотношения в уравнение (IX. 127); тогда

т. e. получим выражение, тождественное уравнению (IX. 126), а это и указывает на правильность данного структурного преобразования.

Рассмотрим перенос сравнивающего элемента за звено.

На рис. IX. 10, с показана исходная схема, а на рис. IX. — преобразованная. Для исходной схемы имеем

Уравнение для элемента сравнения преобразованной схемы запишем в виде

Рис. IX.11. Преобразования структурной схемы

Подставляя последние соотношения в формулу (IX. 129), получим

т. е. найдем выражение, тождественное уравнению (IX. 128). Следовательно, схемы, показанные на рис. IX. 10, с и IX. полностью эквивалентны. Другие структурные преобразования приведены в таблице прил. I.

Пример IX.7. Найти объединенную передаточную функцию системы (рис. IX. 11, а) с помощью структурных преобразований. Для того чтобы в схеме рис. IX. 11, а сделать внутренние контуры 1 и II независимыми, воспользуемся таблицей структурных преобразований (прил. II). Перенесем линию связи 1 за звено Для этого в линию связи 1 введем звено с передаточной функцией

Полученная таким образом преобразованная схема показана на рис. IX. 11, б. Как видно из этого рисунка, контуры и II являются независимыми. Из преобразованной схемы найдем результирующую передаточную функцию разомкнутой системых. Передаточная функция контура (выделен штриховой линией на рис. IX.11, б).

Передаточная функция для контура II записывается в виде

Подставим передаточную функцию (IX. 130) в выражение (IX. 131); тогда после преобразований получим

Если разомкнуть главную обратную связь, как это показано на рис. IX. 11, б, то передаточная функция всей разомкнутой системы

Рассмотрим другой способ структурного преобразования — перенос сравнивающего элемента до звена (рис. IX. 11, в). В этом случае передаточную функцию внутреннего контура II запишем в виде

Для контура I системы

Подставив выражение (IX. 134) в формулу (IX. 135), получим

Таким образом, эта формула совпадает с формулой (IX. 132). Разомкнув главную обратную связь системы, найдем

Пример IX.8. Привести структурную схему следящей системы (см. рис. IX.9, а) к расчетному виду. Для этого с помощью таблицы структурных преобразований (прил. I) в исходной схеме (см. рис. IX.9, а) перенесем линии связи через звено с передаточной функцией Преобразованная таким образом структурная схема показана на рис. IX.9, б. На этой схеме контур I исходной схемы представлен в виде передаточной функции

или

где и пояснены в выражении (IX.9, б).

Передаточную функцию контура 11 запишем в виде

Рис. IX.12. (см. скан) Приведение структурной схемы следящей системы к расчетному виду

Введем в структурную схему, изображенную на рис. IX.9, б, элемент с передаточной функцией ; тогда для контура III системы имеем

Пользуясь передаточной функцией преобразуем схему, показанную на рис. IX. 12, а к виду, представленному на рис. IX. 12, б.

Передаточная функция контура IV будет

Введем в структурную схему (рис. IX. 12, б) элемент с передаточной функцией тогда получим схему, представленную на рис. IX.12, в. После этого нетрудно определить передаточную функцию всей разомкнутой системы

Структурная схема на рис. IX. 12, в и является расчетной.