11. КРИТЕРИЙ АБСОЛЮТНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

При расчетах систем автоматического регулирования встречаются такие задачи, когда требуется, исследовать динамику процессов, регулиробания в условиях отсутствия сведений о характеристиках отдельных устройств. Особенно часто бывают неизвестны нелинейные характеристики исполнительных устройств систем. При исследовании устойчивости таких систем независимо от вида нелинейной характеристики пользуются понятием абсолютной устойчивости.

Анализ абсолютной устойчивости систем регулирования выполняется с помощью структурной схемы (рис. XIV.63) с разделенными линейной и нелинейной частями. В общем случае нестационарный нелинейный элемент описывается функциональной зависимостью . Некоторые типы нелинейных соотношений приведены ниже:

— нелинейный однозначный стационарный;

— нелинейный однозначный нестационарный;

— нелинейный двузначный стационарный;

— линейный нестационарный;

— линейный стационарный.

Характеристики, описываемые этими соотношениями, могут иметь самую разнообразную форму, однако все они должны быть расположены внутри сектора, ограниченного двумя прямыми, проходящими через начало координат (рис. XIV.64). Иначе говоря, должно соблюдаться условие

для всех , где

Рис. XIV.63. Структурная схема замкнутой нелинейной системы

Рис. XIV.64. Границы области расположения нелинейных характеристик

Как было показано выше, свойство абсолютной устойчивости связано с асимптотической устойчивостью свободного движения динамической системы при произвольных начальных условиях относительно положения равновесия вне зависимости от конкретной формы нелинейности.

Для анализа абсолютной устойчивости основной системы (см. рис. XIV.63) румынским ученым В. М. Поповым предложен частотный критерий, определяющий достаточные условия устойчивости. Работы В. М. Попова явились основополагающими для нового направления в исследовании абсолютной устойчивости нелинейных систем, связанного с использованием частотных представлений, широко распространенных при анализе и синтезе линейных систем. Основное достоинство этого метода заключается в том, что он пригоден для анализа динамических систем высокого порядка.

Определение асимптотической устойчивости, данное в гл. XI, относится к поведению всех переменных состояния, однако на практике очень часто необходимо обеспечить требуемое поведение лишь выходной координаты.

Рассмотрим две формулировки определения асимптотической устойчивости.

1. Если для системы порядка вида

все собственные значения матрицы А имеют отрицательные действительные части (условие 1); нелинейная характеристика удовлетворяет условиям

существует такое действительное число 0 с что для всех действительных

то начало координат асимптотически устойчиво при произвольных начальных условиях для каждого класса нелинейностей, удовлетворяющих (XVI.247), а рассматриваемая нелинейная система абсолютно устойчива.

2. Если изучается поведение выходной координаты, то в условии 1 можно потребовать лишь устойчивости передаточной функции по выходной координате, а в условии 3 число может быть любым действительным числом

Выбор произвольного числа определяется следующими ограничениями:

1) если - однозначная стационарная нелинейность, то

2) если — нелинейность с пассивным гистерезисом, то

3) если — нелинейность с активным гистерезисом, то

4) если — обобщенная нестационарная нелинейность, то

Рис. XIV.65. Расположение годографа и прямой Попова для систем автоматического регулирования с однозначными нелинейностями: а — с активным гистерезисом; б — с пассивным гистерезисом

Рис. XIV.66. Годограф для линейной части системы (пример XIV. 15) и сектор Попова при

Соотношение (XIV.248) называется условием устойчивости Попова. Это условие можно интерпретировать графически. Особенно просто это сделать, если ввести в рассмотрение модифицированную частотную характеристику линейной части с передаточной функцией следующим образом:

Годограф нетрудно построить, умножив мнимую часть на . С учетом выражения (XIV.253) условие (XIV.248) можно записать в виде

что позволяет определить на плоскости прямую Попова, удовлетворяющую уравнению

Эта прямая проходит через точку а ее наклон определяется числом При прямая Попова вертикальна. Различное расположение прямой Попова и годографов показано на рис. XIV.65.

Расположение кривых на рис. XIV.65, а отвечает условию что характерно для системы с однозначными нелинейностями и активным гистерезисом. Расположение кривых на рис. XIV.65, б отвечает значениям что характерно для систем с однозначными нелинейностями и пассивным гистерезисом.

Рассмотрим пример анализа абсолютной устойчивости нелинейной системы с запаздыванием.

Пример XIV. 15. Для системы второго порядка с запаздыванием (см. рис. XIV.63) определить максимально возможный коэффициент при котором обеспечивается абсолютная устойчивость по выходному сигналу для если

Заметим, что линейная часть устойчивая. Годограф показан на рис. XIV.66. Из его анализа можно сделать следующие выводы:

для нелинейностей общего вида условия абсолютной устойчивости по выходной координате выполняются, если

Рис. XIV.67. Структурная схема нелинейной системы при случайных воздействиях

для однозначной нелинейной характеристики условия абсолютной устойчивостиг выполняются при если

Таким образом; сектор расположения однозначных нелинейностей больше сектора для нелинейностей произвольного типа. Рассматриваемая система является абсолютно асимптотически устойчивой не только по выходной координате, и по всем переменным состояниям, согласно первой формулировке асимптотической устойчивости.