Критерии устойчивости, основанные на применении билинейного преобразования.

Трудность построения годографов при анализе сложных импульсных передаточных функций устраняется при использовании билинейного преобразования

и логарифмических амплитудных и фазовых характеристик. Из теории функций комплексного переменного известно, что билинейное преобразование отображает единичый круг плоскости в левую полуплоскость Поэтому все методы анализа устойчивости непрерывных систем на плоскости или можно применять для анализа импульсных систем.

Перейдем к рассмотрению этих методов. Первый из них представляет наибольший практический интерес и заключается в построении логарифмических амплитудной и фазовой характеристик разомкнутых систем. При их построении пользуются псевдочастотой Связь между действительной круговой частотой и псевдочастотой можно получить, определяя из выражения (XV. 156) переменную

но поэтому

откуда видно, что

Из уравнения (XV.159) найдем

Построение и анализ устойчивости импульсных систем по логарифмическим характеристикам осуществляются теми же способами, которые были рассмотрены для непрерывных систем регулирования в гл. XI.

Пример XV. 16. Проанализировать устойчивость импульсной системы регулирования, имеющей передаточную функцию

Из выражения (XV. 161) следует, что полюсы функции расположены внутри единичной окружности. Подставим в полученное выражение билинейное преобразование (XV. 156); тогда найдем

В данную передаточную функцию введем следующие обозначения:

Рис. XV.27. Логарифмические характеристики импульсных систем примеров XV.16 и XV.17

Приняв выражение (XV.162) получим в виде

По выражению (XV. 163) на рис. XV.27 построена логарифмическая амплитудная характеристика (ломаная линия) в зависимости от псевдочастоты Для построения фазовой характеристики запишем формулу

Задаваясь различными значениями построим (сплошная линия на рис. XV.27).

Как видно из рис. XV.27, на частоте среза системы запас устойчивости по фазе , запас устойчивости по модулю . Полученные запасы устойчивости по фазе и модулю обеспечивают устойчивость импульсной системы в замкнутом состоянии.

Пример XV.17. По передаточной функции

проанализировать устойчивость импульсной системы. Из передаточной функции (XV. 165) нетрудно установить наличие одного полюса вне единичной окружности. Подбавив в выражение (XV. 165) билинейное преобразование, получим

где

Подставим в формулу (XV.166) и определим логарифмическую амплитудную характеристику системы (штрихпунктирная линия на рис. XV.27). Фазовую характеристику иайдем по формуле

Изменяя значения определим фазовую характеристику, которая построена также на рис. XV.27 (штрихпунктирная линия). Из характеристики и видно, что на частоте среза запас устойчивости по фазе . Запасы устойчивости по модулю .

Рис. XV.28. Г одограф импульсной системы для примера XV.18

Рис. XV.29. Логарифмические амплитудная и фазовые характеристики импульсной системы для примера XV. 18

Так как в рассматриваемой системе имеется сомножитель , то в фазовой характеристике необходимо добавить дугу бесконечного радиуса (построена на рис. XV.27 штриховой линией). Тогда число переходов фазовой характеристики оси при и одном полюсе будет

Поэтому рассматриваемая импульсная система устойчива в замкнутом состоянии. Пример XV. 18. Проанализировать устойчивость импульсной системы регулирования примера XV, 13. Ее передаточная функция имеет вид

После подстановки билинейного преобразования получим

Анализ устойчивости по выражению (XV. 168) выполним тремя способами.

1-й способ. Построим годограф на плоскости Для этого в выражении (XV-168) сделаем подстановку На рис. XV.28 построен годограф Из этого рисунка видно, что система неустойчива в замкнутом состоянии.

2-й способ. На рис. XV.29 построены логарифмические амплитудная и фазовая характеристики. Как видно из этого рисунка, при фазовая характеристика имеет значение , что указывает на неустойчивость замкнутой импульсной системы.

3-й способ. Билинейное преобразование отображает единичный круг в левую полуплоскость. Поэтому можно из выражения найти характеристическое уравнение замкнутой системы в виде

Для анализа устойчивости уравнения (XV.169) применим критерий Гурвица. Так как коэффициенты уравнения (XV.169) отрицательны при любых 0, то импульсная система неустойчива.