10. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕХОДНЫХ МАТРИЦ ЛИНЕЙНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ И НЕСТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ

Для большинства линейных стационарных систем переходная матрица может быть найдена простыми способами. Однако определение переходных матриц для линейных нестационарных систем представляет значительные трудности и в ряде случаев переходные матрицы приводятся к бесконечному ряду Неймана [71], что исключает его практическое применение.

Рассмотрим сперва определение переходных матриц для линейных стационарных систем. В этом случае будем искать переходную матрицу в виде экспоненциальной функции от матрицы А.

Тогда по определению

где

Поэтому

Пользуясь выражением (IX.216), решение уравнения в виде (IX.214) можно, переписать как

В настоящее время существует несколько способов описания переходных матриц.

1-й способ (для матрицы А — диагональной). В этом случае где А — диагональная матрица, элементами которой являются собственные значения. Тогда

и, пользуясь выражением (IX.209), получим

2-й способ (для матрицы А — любой, но не диагональный). В этом случае необходимо найти такую постоянную матрицу Р, которая преобразует матрицу А в диагональную А, т. е.

Здесь элементами матрицы А являются собственные значения матрицы А; отсюда

но

Матрица А отыскивается из уравнения (IX.179) в виде

Матрица Р является неособой, если составленные значения матрицы А являются различными.

3-й способ (преобразования Лапласа). Этот способ применим как при простых, так и при кратных корнях. Рассмотрим его применение для уравнения

при

Тогда имеем

откуда находим

Так как , то

или

откуда следует, что для нахождения необходимо вычислить обратную матрицу и для каждого ее элемента осуществить обратное преобразование Лапласа (см. гл. XII).

Для определения переходных матриц линейных нестационарных систем, описываемых уравнениями (IX. 168), воспользуемся следующим соотношением 1:

Будем также считать, что матрица коммутативна с матрицей т. е.

Соотношение (IX.230) выполняется, когда матрица диагональная или когда для нее справедливо соотношение

Матричная форма записи позволяет представлять динамику систем регулирования в области изображений функций (по Лапласу). Уравнения состояния системы регулирования записываются в виде (IX.172). Соотношения между векторами имеют следующий вид:

Тогда с помощью прямого преобразования Лапласа, примененного к уравнениям (IX. 168) при нулевых начальных условиях, можно получить

откуда

и

Из уравнений (IX.232)-(IX.235) найдем

Уравнения (IX.236) позволяют определять передаточные функции систем автоматического регулирования из уравнений, записанных через переменные состояния.

Рассмотрим несколько примеров определения переходных матриц.

Пример IX.II. Определить переходную матрицу и реакцию на единичное ступенчатое воздействие для системы автоматического регулирования, описываемой системой уравнений вида

Очевидно, система (IX.237) эквивалентна уравнениям в векторно-матричной форме

где

Матрица А является диагональной, поэтому переходная матрица будет

Разлагая выражение (IX.239), нетрудно определить реакцию системы (переходный процесс) на единичное ступенчатое воздействие при нулевых начальных условиях с помощью выражения (IX.217)

Для рассмотренного нами примера имеем

и

Пример Динамика системы автоматического регулирования описывается уравнениями вида

а также матрицами и векторам!

Определить собственные значения матрицы А.

Для этого составим определитель

откуда поэтому

Для нахождения матрицы Р определим собственные векторы матрицы А из уравнений

т. е.

откуда получим

С точностью до постоянного множителя собственные векторы

поэтому матрицу Р выберем в виде

Найдем обратную матрицу Ее определитель Присоединенная матрица (см. прил. VI) получается при замене каждого элемента матрицы Р его алгебраическим дополнением с последующим транспонированием:

откуда

Перемножив матрицы (IX.241), (IX.242) и (IX.243), получим

С помощью выражений (IX.217) и (IX.244), при нулевых начальных условиях и найдем

и

Пример IX.13. Для линейной нестационарной системы, описываемой уравнением [71]

определить переходную матрицу . В уравнение (IX.245) введем подстановку тогда

Пользуясь уравнениями состояния для (IX.246), можно получить переходную матрицу

откуда после подстановки получим

Переходную матрицу иайдем из уравнения (IX.247) в виде

На правильность полученного выражения (IX.248) указывает то, что

Пример IX.14. Определить передаточную функцию для системы автоматического регулирования, уравнения динамики которой даны в примере IX.11:

Тогда с помощью второго уравнения (IX.236) найдем

После преобразований выражение примет вид

Выражение (IX.250) и представляет собой передаточную функцию замкнутой системы относительно сигнала управления