12. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ОБЪЕКТОВ, УСТРОЙСТВ И СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ ИМПУЛЬСНЫМИ ПЕРЕХОДНЫМИ ФУНКЦИЯМИ

В первых параграфах настоящей главы динамические свойства объектов, устройств и систем регулирования в целом описывались с помощью передаточных функций. В ряде случаев такое описание является сложным, например, для линейных нестационарных объектов или систем регулирования с переменными параметрами [72]. Тогда объекты регулирования или системы описываются их импульсными переходными функциями. Экспериментальные методы определения динамических свойств объектов или устройств регулирования, когда подача на их входы поисковых регулярных сигналов недопустима, основаны на нахождении импульсных функций при действии на их входы случайных сигналов (см. гл. XIII). В некоторых методах синтеза систем регулирования и анализа самонастраивающихся систем используются способы представления объекта регулирования, или неизменяемой части системы 1, с помощью импульсной переходной функции.

Еслн на вход объекта, устройства или системы регулирования подать входное воздействие в виде -функции, приложенной в момент времени х при нулевых начальных условиях, то на выходе получится импульсная переходная функция представляющая собой реакцию на это воздействие (рис. IX.20).

Любое непрерывное воздействие можно представить в виде бесконечной последовательности функций с амплитудой соответствующей моменту времени х (рис. IX.21). Из рис. IX.21 видно, что

или

Подавая на вход объекта, устройства управления или всей системы в целом последовательность таких -функций, можно найти сумму переходных процессов, вызванных каждым из этих импульсов в отдельности.

Рис. IX.20. Представление реакции объекта устройства или системы регулирования на -функцию в виде импульсной переходной функции

Рис. IX.21. Представление непрерывной функции в виде бесконечной последовательности функции

Рис. IX.22. Две импульсные переходные функции и функция

Если считать, что переходный процесс от действия одного импульса есть то переходный процесс от каждого из импульсов есть Тогда переходный процесс от всей последовательности импульсов определяется интегралом вида

Таким образом, импульсная переходная функция характеризует динамические свойства объектов, устройств или систем регулирования в целом, так как с ее помощью можно найти переходный процесс, вызванный любым воздействием.

На рис. IX.22 показаны две импульсные переходные функции и вид воздействия Форма импульсной и переходной функции позволяет судить о том, насколько сильно влияют на переходный процесс значения воздействия в моменты, предшествующие Поэтому чем шире импульсная переходная функция, тем более отдаленные значения от рассматриваемого момента времени следует учитывать при вычислении интеграла (IX.261).

На рис. IX.22 импульсная переходная функция шире, чем поэтому для определения

гледует брать наиболее отдаленные значения

Наряду с прямым преобразованием Лапласа, определяющим изображение функции по ее оригиналу, существует и обратное преобразование Лапласа, позволяющее найти оригинал функции по изображению. Формулу для обратного преобразования Лапласа можно записать в виде

Если считать, что где — передаточная функция замкнутой системы, — изображение воздействия 1, то

При и устойчивой системе 2 формула (IX.263) примет вид

Найдем преобразование Лапласа для -функции:

В формуле (IХ.264) вместо произвольного воздействия подставим выражение (IX.265); тогда переходную функцию можро заменить импульсной переходной функцией

где

Импульсная переходная функция (IX.259) должна удовлетворять двум условиям:

что характеризует устойчивость систем;

Это показывает, что переходный процесс не может возникнуть раньше причины, его вызвавшей, — условие физической осуществимости систем. Подставим в формулу (IX.266) выражения

и

тогда

Интеграл

ввиду нечетности подынтегральной функции равен нулю, поэтому

и при справедливо равенство

Заменив в выражении (IX.272) на получим

Рис. IX.23. Типовая трапецеидальная характеристика

Сложив выражения (IX.271) и (IX.273), получим

Вычитая из уравнения (IX.271) выражение (IX.273), найдем 00

Выражения (IX.274) и (IX.275) в окончательном виде можно записать так:

Для вычисления интегралов (I X.276) и (I X.277) разобьем характеристику на несколько трапеций одна из которых приведена на рис. IX.23. Тогда получим

Подставив выражение (IX.278) в формулу (IX.276), найдем

Функцию можно записать в виде (рис. IX.23)

Имея в внду полученное выражение, найдем

Умножив и разделив выражение (IX.281) на найдем

Пользуясь таблицами функций и формулой (IX.282), нетрудно вычислить импульсную переходную функцию Если пользоваться функцией то вместо в выражении (IX.281) должна быть представлена функция

По таблицам функций и формуле (IX.283) также можно вычислить импульсную переходную функцию.

В заключение следует отметить, что если в формуле (IX.277) умножить и разделить подынтегральное выражение на со, т. е.

то для определения следует пользоваться трапецеидальными характеристиками и -функциями х.

Пример IX. 16. На рис. IX.24 построена вещественная частотная характеристика объекта регулирования Разобьем ее на несколько трапеций, как это показано на рис. IX.24, а. Затем с помощью таблиц -фуякций определим результирующее значение импульсной переходной функции (рис. IX.24, б). Для оценки точности полученной характеристики на этом же рисунке штриховой линией построена импульсная переходная функция, точное значение которой вычислено по формуле

Как видно, точное и графоаналитическое определение функции достаточно близко совпадают одно с другим, что позволяет рекомендовать этот способ нахождения импульсной переходной функции для объектов или систем автоматического регулирования.

Определим взаимную связь между переходной матрицей и импульсной переходной функцией. Воспользуемся для этого выражением (I X.214), которое запишем в развернутом виде:

где — элемент матрицы строке и столбце; компонента вектора

Если принять, что все начальные условия нулевые, т. е. для всех момент к системе регулирования приложен единичный импульс

Рис. IX.24. Вещественная частотная характеристика и импульсная переходная функция

Рис. IX.25. Переходная матрица для линейной нестационарной системы регулирования

Из выражения (IX.286) можно установить, что между переходной матрицей и импульсной переходной функцией существует взаимная связь, так как они обе характеризуют реакцию по переменной состояния на импульс, прикладываемый в момент . Соответствующее графическое изображение переходной функции приведено на рис. IX.25. Как видно из этого рисунка, переходная матрица аналогична импульсной переходной функции нестационарной системы.

В заключение укажем, что существуют линейные стационарные системы, которые не могут быть описаны переменными состояниями. К ним относятся системы, динамика которых представляется в виде уравнений в частных производных. Такие системы обычно описываются с помощью импульсных переходных функций через интеграл свертки в виде

Рассмотрим дифференциальное уравнение для длинной -линии в виде

где — напряжение на расстоянии х от конца -линии. Реакцию линии в точке определим в соответствии с выражением (IX.287):

Выражение (IX.289) для уравнения (IX.288) запишем в виде

откуда находим импульсную переходную функцию в виде

При фиксированной длине х из выражения (IX.290) с помощью прямого преобразования Лапласа можно получить передаточную функцию длинной -линии

которая также относится к трансцендентным (см. настоящей главы).

Итак, объекты и системы автоматического регулирования, описываемые стационарными линейными уравнениями различных видов, могут быть представлены передаточными функциями, переходными функциями и импульсными переходными функциями. При использовании частотных методов анализа и синтеза систем автоматического регулирования предпочтение следует отдать передаточным функциям. При применении методов моделирования на аналоговых или цифровых вычислительных машинах пользуются переходными функциями.

Импульсные переходные функции применяют при проектировании нестационарных линейных систем автоматического регулирования.

Учитывая взаимную связь передаточных функций с переходными и импульсными функциями, проектировщики систем автоматического регулирования часто пользуются всеми тремя способами их представления (см. гл. XII, XIII, XVII и XVIII).