9. ВЫДЕЛЕНИЕ ОБЛАСТЕЙ УСТОЙЧИВОСТИ С ПОМОЩЬЮ D-РАЗБИЕНИЯ

Вернемся к рассмотрению характеристического уравнения замкнутой системы

Будем считать, что при некотором фиксированном значении данное уравнение имеет корней в левой полуплоскости (от мнимой оси) и корней в правой полуплоскости. Изменение в определенных границах коэффициента не будет менять числа корней в полуплоскостях. Поэтому на плоскости можно построить кривую, отображающую мнимую ось плоскости корней, и найти область -устойчивости на числовой прямой по параметру Эту кривую обычно называют кривой D-разбиения по параметру [1]. Если D-разбиение требуется выполнить по двум параметрам то строят D-разбиение плоскости по двум параметрам. В этом случае по оси ординат откладывают значения параметра а по оси абсцисс — значения параметра Здесь также определяются области устойчивости в плоскости двух коэффициентов.

Если в характеристическом уравнении не определены три коэффициента то необходимо рассматривать трехмерное пространство, откладывая по осям Область D-разбиения в пространстве в этом случае будет представлять собой некоторую поверхность.

Можно увеличить число изменяемых параметров характеристического уравнения до но тогда придется рассматривать многомерное пространство коэффициентов, и область D-разбиения будет определяться гиперповерхностью. Как и в первом случае, граница D-разбиения по двум, трем и т. д. параметрам представляет собой отображения мнимой оси плоскости корней на пространство коэффициентов характеристического уравнения. В создании и развитии этого метода анализа устойчивости систем автоматического регулирования важную роль сыграли работы М. А. Айзермана [1, 2] и Ю. И. Неймарка.

D-разбиение плоскости по одному комплексному параметру. Рассмотрим влияние параметра характеристического уравнения (XI.69). Разрешив это уравнение относительно получим

или

Положим, что — комплексное число. Отобразим мнимую ось плоскости корней X на плоскость Затем подставим в выражение (XI.151)

или

Рис. Правила штриховки мнимой оси плоскости К и кривой D-раабиения плоскости

Изменяя значения о от до построим в плоскости (или ) кривую, отображающую мнимую ось плоскости на плоскость Полученная кривая является кривой D-разбиения. Кривая D-разбиения симметрична относительно действительной оси, поэтому можно строить лишь ее участок, соответствующий изменению частот 0 <з и дополнить кривую зеркальным отображением относительно действительной оси. На рис. XI.44 построены плоскость корней К (рис. 44, а) и кривая D-разбиения (рис. 44, б).

Построение кривой D-разбиения еще не решает вопроса о выделении области устойчивости. Последняя должна представлять собой совокупность точек плоскости, в которых все корни характеристического уравнения замкнутой системы имеют отрицательные вещественные части. В то же время кривая D-разбиения представляет собой только совокупность точек, в которых характеристическое уравнение имеет, по крайней мере, хотя бы один чисто мнимый корень Для того чтобы решить вопрос о выделении области устойчивости, необходимо по определенным правилам заштриховать D-кривую.

Правила штриховки D-кривой и выделение областей устойчивости.

При перемещении в плоскости корней вдоль мнимой оси от до (рис. XI.44, а), область, в которой корни имеют отрицательные вещественные части, будет находиться все время слева. Заштрихуем мнимую ось плоскости слева. Имея это в виду, будем теперь перемещаться вдоль линии D-разбиения от точки к точке, соответствующей Выполним штриховку этой кривой также слева (рис. XI.44, б). Таким образом получим четыре зоны II, III и IV.

Допустим, что каким-либо способом удалось установить, что в зоне III имеется отрицательных корней слева от мнимой оси. Если при переходе в другую зону кривые D-разбиения пересекаются с незаштрихованной стороны на заштрихованную, то этой зоне соответствует полином с корнем в левой полуплоскости К (рис. XI.44, б). При переходе через кривую с заштрихованной стороны на незаштрихованную число отрицательных корней уменьшается на единицу. Если штриховка двойная (что соответствует точке пересечения D-кривых), то число корней увеличивается на 2, т. е. в этой зоне имеем корня.

Практически представляет интерес рассмотрение только действительных значений параметра Поэтому, построив кривые D-разбиения и определив число корней в каждой зоне, необходимо найти тот отрезок действительной оси на плоскости который принадлежит области устойчивости. Далее устанавливают соответствие между числом отрицательных корней и степенью характеристического уравнения. При таком соответствии зона с наибольшим числом отрицательных корней будет областью устойчивости. Если этого соответствия нет, то области устойчивости не существует.

Пример XI.27. Для системы автоматического регулирования, имеющей характеристическое уравнение замкнутой системы в виде

найти области устойчивости при изменении параметра (степени самовыравнивания объекта регулирования).

Из уравнения (XI. 154) определим

Пусть параметры системы имеют следующие значения: с.

Тогда

Подставив в уравнение (XI.156) получим

откуда найдем

Результаты вычислений для различных значений со сведены в табл. XI.5.

На рис. XI.45 построена одна ветвь кривой -разбиения для и от 0 до по формуле (ХI.158). Другая ветвь для от 0 до определена как зеркальное отображение кривой, построенной относительно оси .

Как видно из рис. XI.45, вся плоскость по параметру разбивается на четыре зоны Число отрицательных корней удобнее всего определить для зоны I. Для этого положим тогда из уравнения (XI.154) найдем

Из уравнения (XI. 159) определим корни

Таким образом, число отрицательных корней в зоне Пользуясь изложенным выше правилом перехода, можно определить число отрицательных корней в остальных зоиах.

Наибольшее число корней имеет зона III. Порядок характеристического уравнения замкнутой системы Следовательно, зона III является областью устойчивости.

Из рис. XI.45 можно определить наименьшее значение при котором система устойчива в замкнутом состоянии. Из рис. XI.45 видно, что это имеет место, когда

D-разбиение плоскости двух параметров. Пусть характеристическое уравнение замкнутой системы (XI.69) зависит от двух параметров и если эти параметры входят в уравнение линейно, то его можно записать в виде

Приняв получим

Чтобы построить границы D-разбиения, необходимо определить и для каждого со, решая совместно два уравнения:

Рис. XI.45. Кривая D-раэбиения плоскости по одному параметру для примера XI.27

Таблица XI.5. Значения действительной и мнимой частей функции

Рис. XI.46. Правила штриховки кривых D-разбиения в плоскости двух параметров

Если в каждом из этих уравнений выделить члены, содержащие и то получим систему двух уравнений:

Решив эту систему уравнений, получим

Уравнения (XI. 164) представляют собой параметрические зависимости, определяющие границы области D-разбиения в плоскости параметров и

При перемещении точки по мнимой оси в плоскости К снизу вверх точка в плоскости параметров при изменении от до будет перемещаться по границе области D-разбиения.

Сформулируем правило штриховки. При перемещении по границе D-разбиения ее штрихуют слева в тех точках, для которых и справа — при Точка по кривой перемещается 2 раза: первый раз от до и второй раз от до (рис. XI.46). При переходе точкой границы с двойной штриховкой из заштрихованной зоны в незаштрихованную два корня характеристического уравнения переходят из левой полуплоскости в правую. И, наоборот, при переходе точки в заштрихованную область имеем переход двух комплексно-сопряженных корней в левую полуплоскость.

Рис. XI.47. Правила штриховки особых прямых кривых D-разбиения в плоскости двух параметров

Для определения области устойчивости необходимо в какой-то зоне с помощью любого из рассмотренных ранее критериев оценить устойчивость, а далее, пользуясь правилами штриховки, установив число корней в остальных зонах. При построении границ D-разбиения необходимо учитывать,

Рис. К 1.48. Кривая D-разбиения плоскости по двум параметрам для примера XI.28

что при некоторой частоте урабнения (XI. 164) становятся линейно зависимыми, а определители равными нулю, т. е. . В этом случае образуется уравнение особой прямой. Если знак при о или о не изменяется, то эти прямые не штрихуют (рис. XI.47, а); если же при этом изменяется знак то прямые штрихуют двойной штриховкой, как это показано на рис. XI.47, б [1].

Часто определители равны нулю. В этом случае зависит от параметра При этом также получается уравнение особой прямой. Соответствующее расположение этих прямых показано на рис. XI.47, в и г. Как видно из рис. XI.47,е и г, такие особые прямые штрихуют с одной стороны.

Пример XI.28. По заданному характеристическому уравнению замкнутой системы

построить D-разбиение по двум параметрам Остальные параметры системы примем равными

Подставив эти значения в уравнение (XI. 165) и заменив получим

Отделяя действительную и мнимую части, найдем

откуда

Задаваясь различными значениями от 0 до получим кривые D-разбиений показанные на рис. XI.48, а. Двигаясь вдоль кривой от точки к точке наносим двойную штриховку справа, так как При определитель ; тогда наносим двойную штриховку слева. Приравнивая нулю свободный член и коэффициент при старшем члене характеристического уравнения, получим уравнения двух прямых: для для На рис. XI.48, а прямые показаны одинарной штриховкой. Здесь же в зонах указано чнсло корней. Для определения области устойчивости можно положить ; тогда характеристическое уравнение (XI. 166) примет вид где

При смещении от точки вправо (рис. Х 1.48, б) число корней с отрицательной действительной частью увеличивается на единицу.

Следовательно, для системы (X 1.165) третьего порядка эта область является областью устойчивости.