2. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ УСТРОЙСТВ СИСТЕМ РЕГУЛИРОВАНИЯ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ В ВИДЕ ТРАНСЦЕДЕНТНЫХ ПЕРЕДАТОЧНЫХ ФУНКЦИЙ
Рассмотрим гидравлический трубопровод в виде элемента с распределенными параметрами. Уравнение трубопровода представим в виде
где 
— относительное изменение гидродинамического давления; и — относительное изменение скорости движения масла.
Применим к обеим частям уравнений (IX.21) преобразование Лапласа; тогда
откуда
Введем обозначение
Имея это в виду, уравнение (IX.23) запишем в форме
Решение уравнений 
будет
Исключим из формул 
постоянные С и 
для чего воспользуемся уравнениями (IX.22). Итак,
откуда найдем
Подставив полученные значения в формулу (IX.26), определим
Уравнение (IX.28) запишем с помощью гиперболических синуса и косинуса:
и
Определив отсюда 
найдем
Произвольные постоянные 
и 
определим с помощью граничных условий
Будем рассматривать соотношения между 
в точках 
где 
— длина трубопровода. Имея это в виду, из формул (IX.29) найдем
Из уравнений (IX.30) определим отношение
тогда получим передаточную функцию трубопровода в виде
но
и
В полученную передаточную функцию введем переменную
Нетрудно показать, что 
имеет размерность времени, поэтому ее можно именовать временем «чистого» запаздывания.
Имея в виду соотношение (IX.33), передаточную функцию трубопровода можно записать в окончательном виде как
Определим теперь передаточную функцию длинного водяного канала, подводящего воду к гидротурбине (см. рис. II.5). При выводе передаточной функции будем учитывать потери в канале. Тогда уравнения для канала можно записать в виде
где 
— изменение скорости движения воды; и — изменение гидродинамического давления воды; х — расстояние от плотины; с — скорость распространения гидравлического удара; 
— ускорение свободного падения; 
— коэффициент скоростного трения.
Применив к уравнению (IX.35) преобразование Лапласа, получим
Как и для гидравлического трубопровода, продифференцируем уравнение (IX.36) по 
где
Решение уравнений (IX.37) представим в виде
Воспользуемся следующими краевыми услфвиями:
тогда из уравнения (IX.38) определим
Принимая во внимание полученное соотношение и используя уравнения (IX.36)-(IX.38), найдем
Подставляя значения С и D в уравнения (IX.38), учитывая формулу (IX.39), получим
При 
найдем
Второе краевое условие запишем в виде
здесь под переменной 
понимаем относительное перемещение регулируемой заслонки (см. рис. II.5).
Выражение (IX.42) перепишем в виде
откуда получим
Если в выражении (I X.44) принять 
и перейти к относительным величинам, то
где
Выражение (IX.45) входит в передаточную функцию гидротурбины, которую рассматривают как единый объект регулирования [68, 72].
