8. АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ С ТРАНСЦЕНДЕНТНЫМИ ЗВЕНЬЯМИ

Как известно, в системы автоматического регулирования могут входить трансцендентные звенья, передаточные функции которых получаются из уравнений, описываемых в частных производных. Одним из наиболее распространенных трансцендентных звеньев является звено чистого запаздывания с передаточной функцией

Передаточная функция системы автоматического регулирования со звеном чистого запаздывания

где передаточная функция элементов разомкнутой системы без звена чистого запаздывания.

Положив получим

откуда

Из выражения (XI.44) видно, что для построения годографа Михайлова-Найквиста системы с запаздывающим звеном сначала следует построить амплитудно-фазовую характеристику без запаздывания (кривая 1 на рис. XI.41), а затем перенести все точки так, чтобы радиус-вектор, т. е. не изменился, а аргумент уменьшился на Данное построение выполнено на рис. XI.41, а (кривая 2). Из рис. XI.41, а видно, что система с запаздыванием менее устойчива, так как у годографа уменьшились запасы устойчивости по фазе на и во модулю в несколько раз.

Рис. XI.41. Годографы Михайлова—Найквиста для систем с звеньями чистого запаздывания.

Рис. ХI.42. (см. скан) Два типа годографов Михайлова—Найквиста для систем с звеньями чистого запаздывания

Покажем, что в системе автоматического регулирования со звеном чистого запаздывания существует критическое при котором система, находится на грани устойчивости и ее годограф проходит через точку Для этого определим сосв точке пересечения годографа с единичной окружностью (рис. XI.41, б). Найдем фазовый угол Очевидно, что критическое время запаздывания определяется следующей зависимостью.

где — критическая частота.

Возможны и другие случаи расположения годографа Михайлова—Найквиста относительно окружности единичного радиуса.

Первый случай. Модуль годографа при всех частотах с меньше единицы (т. е. ); тогда в системе отсутствуют частоты среза и система устойчива при любых (рис. XI.42, а). Иначе говоря, рассматриваемая система не будет иметь критического времени запаздывания

Второй случай. В некотором диапазоне частот тогда в системе имеется несколько частот среза (или критических частот) (рис. XI.42, б). Точки, соответствующие критическим частотам, определяются следующими уравнениями:

где

Решая первое уравнение (XI. 146) относительно со, определим значения критических частот Из второго уравнения получим

Вычисляемые по формуле значения разбивают область возможных значений времени запаздывания на участки с устойчивой работой.

Рассмотрим в порядке убывания критические частоты Из рис. XI.42, б видно, что при система будет устойчивой в замкнутом состоянии, так как годограф не охватывает точки Начиная с система будет неустойчивой, но до тех пор, пока не будет превышать . И снова при значении система с

запаздыванием будет устойчивой в замкнутом состоянии, так как в диапазоне частот от до модуль амплитудной фазовой характеристики меньше 1,0. В дальнейшем при система снова становится неустойчивой в замкнутом состоянии.

На рис. XI.42, в выделены участки устойчивой и неустойчивой работы систем автоматического регулирования в зависимости от величины времени чистого запаздывания т. Чередование участков устойчивых и неустойчивых состояний при непрерывном изменении присуще системам автоматического регулирования с чистым запаздыванием [1, 2]. Перейдем к рассмотрению конкретных примеров анализа устойчивости систем автоматического регулирования с трансцендентными звеньями с применением логарифмических частотных характеристик.

Пример XI.26. Проанализировать устойчивость системы автоматического регулирования концентрации сернистого газа на заводах производства серной кислоты с длинными трубопроводами. Запишем частотную характеристику разомкнутой системы в виде

где

На рис. XI.43 построены логарифмическая и фазовая частотные характеристики без звена чистого запаздывания. Звено чистого запаздывания увеличивает фазовые сдвиги на которые определяют по формуле

Откладывая от фазовой характеристики соответствующие получим результирующую фазовую характеристику Как видно из рис. XI.43, система автоматического регулирования с звеном чистого запаздывания является устойчивой в замкнутом состоянии и имеет запасы устойчивости по фазе и по модулю дБ. Малый запас устойчивости модулю в системе приводит к некоторому ухудшению показателей ее качества.

Рис. XI.43. (см. скан) Логарифмические амплитудная и фазовая частотные характеристики системы автоматического регулирования концентрации сернистого газа

Из рис. XI.43 можно определить

Соответствующая этому значению фазовая характеристика построена на рис. XI.43 штриховой линией. Здесь же, на рис. XI.43 построены амплитудно-фазовые характеристики.