4. ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ ПРИНЦИПА МАКСИМУМА

Рассмотрим несколько примеров применения принципа максимума для вычисления оптимальных процессов.

Пример XX. 1. Пусть движение объекта описывается системой уравнений

и управление и ограничено:

Определим такое управление и, при котором из заданного начального состояния фазовая точка попадает в начало координат за минимальное время.

Гамильтониан в рассматриваемом случае запишется следующим образом:

Для дополнительных переменных и получаем систему уравнений

которая легко решается:

где — постоянные интегрирования,

Учитывая условия определяем оптимальное управление [см. выражение ]:

Поскольку известно выражение запишем и в виде

Рис. XX.6. Оптимальные фазовые траектории для и

Рис. XX.7. Блок-схема системы управления к примеру XX.2

Линейная функция мбжет менять знак на интервале не более одного раза, поэтому оптимальное управление и являясь кусочно-постоянной функцией, принимающей значения ±1, имеет не более двух интервалов постоянства (не более одного переключения).

Для интервала времени, где оптимальная траектория определяется из уравнений (XX.29) и имеет вид

Аналогично для интервала времени, где оптимальная траектория будет

Таким образом, имеем два семейства Парабол, соответствующих (XX.34) и (XX.35): по параболам (XX.34) фазовые точки движутся снизу Вверх (так как а по параболам (XX.35) фазовые точки движутся сверху вниз (так как Искомая траектория должна попасть в начало координат, поэтому для начальных точек, не находившихся в начальный момент времени на параболе, проходящей через начало координат, фазовая траектория состоит из двух кусков парабол, примыкающих друг к другу, причем второй кусок параболы проходит через точку .

На рис. XX.6 показаны все фазовые траектории, представляющие собой два семейства парабол (для и для с направлением движения. Линия состоит из Двух дуг парабол: — дуга параболы расположенная в иижней полуплоскости; — дуга параболы в верхней полуплоскости. Если начальная точка находится выше линии то фазовая точка должна двигаться под действием управления до техпор, пока не выйдет на дугу где управление переключается и становится равным вплоть до прихода в точку Если начальная точка находится ниже кривой то управление действует до момента выхода на дугу затем происходит переключение управления на до прихода в начало координат.

Задание начальной точки однозначно определяет оптимальную траекторию для рассматриваемой, задачи.

Пример XX.2. Определить оптимальный по быстродействию закон управления объектом регулирования, состоящим из двух интегрирующих звеньев, если заданы воздействия:

управляющее

возмущающее

Пол ученный оптимальный закон управления реализовать на аналоговых элементах.

Составим блок-схему системы автоматического регулирования в виде, показанном на рис. XX.7. Регулятор системы представляет собой аналоговое вычислительное устройство. Составим уравнения динамики системы автоматического регулирования:

Из уравнений (XX.36) можно найти одно уравнение для системы регулирования, записанное относительно ошибки:

Подставив в полученное уравнение воздействия, получим

Будем считать, что управление, так же как и в первом примере, ограничено:

Приведем уравнение (XX.38) к системе (XX.29); для этого введем переменные:

Тогда

Пользуясь уравнениями (XX.31) и (XX.32), получим оптимальное уравнение в виде

или

По аналогии с первым примером для интервала времени, где оптимальная траектория

а для интервала времени, где

Таким образом, получены два семейства парабол. Уравнения линии переключения получим при т. е.

На основании последнего уравнения нетрудно записать закон относительно управления в виде

Для реализации данного закона управления перейдем к первоначальным переменным. Для этого, подставив в первое уравнение (XX.40) соотношение получим

Кроме того,

Пользуясь выражениями сформируем на аналоговых элементах оптимальный регулятор (рис. XX.8). Как видно, в него входят блок постоянных коэффициентов блок дифференцирования блок нелинейного преобразования положительная жесткая обратная связь и сумматор.

Рис. XX.8. Структурная схема системы с оптимальным регулятором, реализованным на аналоговых вычислительных средствах (к примеру XX.2)

Пример ХХ.3. Рассмотрим задачу оптимального регулирования скорости двигателя, описываемого уравнением при котором Определим управление как функцию ошибки При этом функционал

принимает минимальное значение при условии

Для решения задачи используем принцип максимума. Введем новую переменную

получим систему уравнений

Составим гамильтониан в виде

где дополнительный вектор удовлетворяет следующей системе уравнений:

откуда (положим ). Оптимальное управление найдем из условия минимизации гамильтониана

Учитывая выражения (ХХ.52) и (XX.53), получим систему уравнений

Решая эту систему, найдем

или

Рис. XX.9. Структурная схема системы оптимального регулирования к примеру XX.3

Так как при - то, положив получим

откуда

Оптимальный закон управления в функции от ошибки можно записать виде

На основании полученного закона управления нетрудно получить структурную схему оптимальной системы регулирования скорости (рис. XX.9).