3. РЕАЛИЗАЦИЯ ДИСКРЕТНЫХ КОРРЕКТИРУЮЩИХ УСТРОЙСТВ ПРИ ПОМОЩИ RC-ЦЕПЕЙ

Разложим передаточную функцию корректирующего устройства

в ряд по степеням

Рис. XIX.8. Последовательная схема реализации дискретной передаточной функции

затем в соотношении (XIX.43) перейдем к временной области

Полученная формула является практически реализуемой лишь в том случае, если выходной сигнал корректирующего устройства и не зависит от будущей информации о входном сигнале т. е. в выражении (XIX.45) для его реализации должно выполняться условие

Таким образом, разложение в ряд Лорана функции относительно начала координат не должно содержать положительных степеней Это требование выполняется, если в дробно-рациональной функции записанной в виде положительных степеней степень числителя не будет превышать степени знаменателя. Последнее и есть условие физической реализуемости, дискретного корректирующего фильтра

Дискретная передаточная функция может быть реализована с использованием RC-цепей при помощи следующих схем: последовательной, параллельной (схемы с обратной связью) и комбинированной, каждая из которых состоит из обычных пассивных RC-цепей и преобразователя код-аналог (обычно нулевого порядка). Более простые последовательная и параллельная схемы имеют ограничения в возможностях реализации дискретных корректирующих устройств, а их комбинация (комбинированная схема) позволяет синтезировать любую рациональную физически реализуемую передаточную функцию в виде RC-цепей.

Последовательная схема реализации приведена на рис. XIX.8. Как видно из рисунка, дискретный сигнал ошибки сглаживается преобразователем код—аналог и далее поступает на фильтр реализуемый на RC-цепи. Задача реализации здесь состоит в выборе передаточной функции такой, чтобы выполнялось условие

где — передаточная функция реализуемого дискретного корректирующего устройства. Полагая, что используется преобразователь код—аналог нулевого порядка, соотношение (XIX.46) запишем в виде

откуда

где — символ обратного z-преобразователя.

Обратное z-преобразование удается легко вычислить, если числитель разлагается на простые сомножители. Тогда функция в скобках выражения (XIX.47) может быть представлена в виде

при условии, что не имеет полюсов при или в виде

если имеет простой полюс

Вычисляя обратное z-преобразование (XIX.47) и учитывая выражения (XIX.48) и (XIX.49), получим

или

где

Так как полученные передаточные функции (XIX.50), (XIX.51) должны соответствовать устойчивой системе и при этом предполагается, что ее полюсы — только действительные и простые, то значения ( полюсов выражения находятся в интервале между 0 и 1. В таком случае из соотношения (XIX.52) следует, что значения в выражениях (XIX.50) и (XIX.51) являются действительными, простыми, конечными и отрицательными, поэтому такая передаточная функция может быть реализована с помощью -цепей.

Таким образом, для реализации дискретной передаточной функции на RС-цепи с помощью последовательной схемы (рис. XIX.8) необходимо, чтобы полюсы были простыми, действительными, положительными и лежали внутри единичного круга на плоскости z (такие полюсы называют реализуемыми). Эти условия вместе с рассмотренными ранее условиями физической реализуемости являются необходимыми ограничениями при реализации последовательной структуры.

Пример XIX.3. Реализовать дискретную передаточную функцию

в которой при помощи последовательной RС-цепи.

Заданная передаточная функция удовлетворяет условиям реализуемости при помощи последовательной схемы. В соответствии с выражением (XIX.47), вычисляя обратное -преобразование, получим, что

где . Передаточную функцию несложно реализовать на RС-цепи (см. гл. VIII), если 1, тогда — минимально фазовая передаточная функция.

Реализация дискретной передаточной функции на -цепи с помощью параллельной схемы, или схемы с обратной связью (рис. XIX.9), заключается в выборе такой передаточной функции и соответствующей ей RС-цепи, чтобы z-преобразование для данной схемы определялось выражением

Рис. XIX. 9. Параллельная схема реализации дискретной передаточной функции

Для случая, когда преобразователь код—аналог имеет нулевой порядок, выражение (XIX.54) принимает вид

откуда

В соответствии с условиями физической реализуемости знаменатель в фигурных скобках правой части соотношения (XIX.55) не должен содержать в качестве сомножителя, а для этого необходимо, чтобы функция имела одинаковое число нулей и полюсов. В этом случае можно записать как

и тогда выражение (XIX.55) примет вид

Из сравнения соотношений (XIX.56) и (XIX.57) видно, что знаменатель (XIX.57) с точностью до сомножителя является числителем передаточной функции Пусть функция не содержит кратных и комплексных нулей. Тогда выражение в фигурных скобках формулы (XIX.57), которое обозначим через разлагается на простые дроби. Если не содержит нуля то

и если имеет простой нуль в точке то

Заметим, что в полученных выражениях — нули функции Вычислив обратное z-преобразование в выражении (XIX.57) и учитывая соотношение (XIX.58), получим

где определяется зависимостью (XIX.52). Аналогично, для случая, когда имеет нуль при с помощью (XIX.59) получим

Поскольку для реализации функций на -цепях необходимо, чтобы значения а, были простыми, действительными и неположительными, коэффициенты в выражениях (XIX.58) и (XIX.59) должны быть простыми, действительными и лежать в интервале Следовательно, для реализации дискретной передаточной функции на RC-цепи в виде параллельной структуры необходимо, чтобы содержала равное число нулей и полюсов, при этом нули должны быть простыми, действительными, положительными и находиться внутри единичного круга плоскости z (такие нули называют реализуемыми). Отметим, что параллельная структура не накладывает ограничений на значения полюсов функции т. е. по такой схеме возможна реализация передаточной функции с полюсами вне единичного круга.

Пример XIX.4. Реализовать с помощью -цепи дискретную передаточную функцию

где

Так как заданная функция соответствует неустойчивой системе, ее нельзя реализовать при помощи последовательной цепи. Но поскольку нуль равный а, — действительный, положительный и расположен внутри единичного круга плоскости то функция может быть реализована на -цепи в виде параллельной структуры. При помощи выражения найдем, что для заданной функции

где

Фильтр (XIX.62) легко реализуется с помощью простой запаздывающей -цепи (см. гл. VIII). Заметим, что в данном случае при функция становится отрицатель, ной; тогда в схеме реализации (рис. XIX.9) необходимо использовать положительную обратную связь.

Из условий реализации последовательной и параллельной схем можно прийти к выводу, что их комбинация позволит реализовать любую передаточную функцию являющуюся дробно-рациональной и физически реализуемой. Общий вид комбинированной структурной схемы приведен на рис. XIX. 10. Вначале полагаем, что

Для реализации функции при помощи комбинированной структуры разобьем ее на две составляющие

следующим образом. В сомножитель включим лишь реализуемые полюсы функции , а в — только реализуемые нули причем должна содержать равное число нулей и полюсов. Далее, для каждой из составляющих соответственно по формулам (XIX.47) и (XIX.55) вычисляем параметры фильтров реализуемые затем на -цепях, расположенных соответственно в прямой цепи и в цепи обратной связи.

Рис. XIX.10. Комбинированная схема реализации дискретной передаточной функции

Пример XIX.5 Реализовать на -цепях дискретную передаточную функцию

Эта функция рациональна по и физически реализуема, хотя и соответствует неустойчивой системе.

Из выражения (XIX.64) видно, что не может быть реализована на RC-цепи с помощью последовательной структуры, так как два полюса находятся вне единичного круга. Функцию нельзя также реализовать и с помощью параллельной структуры вследствие наличия пары комплексных нулей и одного бесконечного нуля. Следовательно, необходимо воспользоваться комбинированной структурой. Для этого разобьем передаточную функцию на два сомножителя:

первый из которых содержит лишь реализуемые полюсы, а второй — реализуемые нули, причем число нулей первого сомножителя не превышает числа его полюсов, а для второго сомножителя число нулей равно числу полюсов, что и требуется для возможности реализации. По выражению в соответствии с формулой (XIX.47) вычисляются параметры последовательной -цепи в схеме рис. а по функции параметры фильтра

Если выражения и описывающие соответственно последовательную -цепь и -цепь в обратной связи в комбинированной схеме, имеют общий множитель, например то для упрощения схемы в целом этот множитель целесообразно реализовать на отдельной -цепи (рис. XIX. 10). Тогда, очевидно,