9. СПОСОБЫ ПОДАВЛЕНИЯ АВТОКОЛЕБАНИЙ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ

Как было показано ранее, нелинейности различного рода в одноконтурных и двухконтурных системах автоматического регулирования являются причиной возникновения автоколебаний. Автоколебания для систем регулирования некоторых видов совершенно недопустимы, так как приводят к снижению точности системы или нарушению режима нормальной эксплуатации. Так, например, в следящих системах режим автоколебаний вызывает колебания объекта регулирования, что нарушает плавность режима слежения и недопустимо по требованиям эксплуатации. В высококачественных системах автоматического регулирования автоколебания недопустимы по требованиям точности и т. д. Для устранения режимов автоколебаний в системах регулирования применяют линейные или нелинейные корректирующие устройства.

Линейные корректирующие устройства. С целью подавления автоколебаний в системе параметры линейных корректирующих устройств выбирают таким образом, чтобы условие баланса амплитуд и фаз не выполнялось. Рассмотрим логарифмические амплитудную 1 и фазовую 2 частотные характеристики линейной части системы. Они изображены на рис. XIV.48 штриховыми линиями. Как видно из этого рисунка, кривая 2 пересекает линию в двух точках где дБ. Соответствующие этим точкам положения шаблонов нелинейного звена показаны кривыми 3 к 4. Точки и В 2 пересечения шаблонов с кривой 1 лежат на одной вертикали с точками и Следовательно, в этих точках могут наблюдаться колебания.

В точке производная что указывает на автоколебательный режим в системе, а в точке производная и система находится в неустойчивом режиме колебаний. Для устранения периодических режимов необходимо поднять фазовую характеристику выше оси На рис. XIV.48 такая фазовая характеристика (желаемая) показана сплошной линией (кривая 5). Требуемое корректирующее устройство можно выбрать по наибольшей разности фазовых углов, т. е.

По с помощью специальных номограмм (рис. XIV.49) можно выбрать тип корректирующего устройства, а также его параметр

Рис. XIV.48. (см. скан) Выбор последовательного линейного корректирующего устройства по логарифмическим фазовым частотным характеристикам

В результате получают передаточную функцию корректирующего устройства дифференцирующего типа

или

где определяют по оси ординат номограмм.

Логарифмическая амплитудная характеристика всей скорректированной системы построена на рис. XIV.48 (кривая 6).

Нелинейные корректирующие устройства. Эти устройства могут быть двух типов: последовательные или параллельные. В качестве последовательного нелинейного корректирующего устройства рассмотрим два линейных звена, разделенных нелинейным элементом (рис. XIV.50). Передаточные функции линейных фильтров запишем в виде

где

Будем считать, что постоянные времени фильтра равны соответствующим постоянным времени фильтра

Определим напряжение на выходе фильтра при подаче на его вход сигнала тогда

Возьмем некоторую частоту при которой можно пренебречь фазовыми запаздываниями Тогда при из выражения (XIV. 172) получим

Если (т. е. если при подаче сигнала выходной сигнал не достигает зоны насыщения), то соблюдается условие

где — линейный коэффициент усиления нелинейного элемента.

В этом случае напряжение на выходе нелинейного корректирующего устройства

или

Рассмотрим диапазон частот На этих частотах возникают амплитудные искажения, которые можнб учитывать с помощью параметра

При этом следует иметь в виду, что

где

Рис. XIV.49. (см. скан) Номограмма для определения типа, и параметров последовательного линейного корректирующего устройства

Рис. XIV.50. (см. скан) Упрощенная принципиальная схема псевдолинейного корректирующего устройства

Коэффициенты гармонической линеаризации для данного нелинейного корректирующего устройства при симметричности сигнала на входе нелинейности определяют с помощью следующего выражения:

где откуда

Пользуясь этой формулой, найдем выражение для сигнала на выходе нелинейного корректирующего устройства:

Из выражения (XIV. 181) определим

где

По формуле (XIV. 182) на рис. XIV.51 построены логарифмические эквивалентные амплитудные характеристики рассматриваемого нелинейного корректирующего устройства при Как видно из рисунка, корректирующее устройство изменяет только эквивалентную амплитудную характеристику системы и является псевдолинейным, что упрощает анализ устойчивости систем автоматического регулирования.

Еще большие возможности по диапазону изменения амплитуд на входе нелинейности имеют параллельные нелинейные корректирующие устройства. Выбор корректирующего устройства такого рода рассмотрим на примере системы автоматического регулирования (рис. XIV.52, а). Введем в исходную систему, как это предложил Д. Шулкинд [76], параллельное корректирующее устройство, состоящее из линейной и нелинейной частей (рис. XIV-52, б). Условие устойчивости для этой системы запишем в виде

Для выбора передаточных функций корректирующих устройств и введем ряд дополнительных условий.

Условие 1. Будем считать, что нелинейное корректирующее устройство и основная нелинейность одинаковы, т. е.

При выполнении равенства (XIV. 184) условие устойчивости системы

можно представить в виде

или

Рис. XIV.51. Логарифмические приведенные эквивалентные амплитудные характеристики псевдолинейного корректирующего устройства

Рис. XIV.52. Структурная схема системы автоматического регулирования с нелинейностью: а — исходная; б — включением нелинейного параллельного корректирующего устройства

Из выражений (XIV. 187) и (XIV. 188) следует, что нужно выбирать таким образом, чтобы при результирующая фазовая характеристика не пересекала линию .

Условие 2. Пусть тогда уравнение (XIV. 183) примет следующий вид:

или, после объединения обеих нелинейностей в одну,

где .

Из уравнения (XIV. 190) получим соотношения, обеспечивающие условия гармонического баланса:

Путем соответствующего выбора характеристики в передаточной функции можно получить значительное расширение областей устойчивых состояний системы по ее параметрам.

Условие 3. Примем, что

где — постоянный коэффициент, изменяющийся в пределах от 0 до 1, и

Имея в виду соотношения (XIV. 192) и (XIV. 193), перепишем уравнение (XIV. 183):

Соответствующим выбором уравнение (XIV. 194) можно привести к виду

или

т. е. при кривая должна быть выше линии

Рис. XI V.53. Структурные схемы электрогидравлической следящей системы: а — исходная; б - с нелинейной коррекцией

Условие 4. Будем считать, что выполняется лишь одно соотношение (XIV. 192); тогда уравнение (XIV. 183) можно записать в виде

откуда

или

Путем выбора коэффициента можно добиться устранения автоколебаний. Аналогичным образом можно рассмотреть трех- и четырехконтурные системы автоматического регулирования.

Пример Включением параллельного нелинейного корректирующего устройства подавить автоколебания в электрогидравлической следящей системе с люфтом в механической передаче. Исходная структурная схема следящей системы показана на рис. XIV.53, а. Введем в рассматриваемую систему параллельное корректирующее устройство с передаточными функциями и - (рис. XIV.53, б).

Примем, что передаточные функции отдельных звеньев имеют следующий вид:

где — передаточный коэффициент потенциометрической схемы; — коэффициент усиления электронного усилителя; — передаточный коэффициент электродвигателя; — передаточное число механической передачи.

Параметры следящей системы: .

Ширина полузоны люфта в механической передаче, приведенная к валу потенциометра, иди 0,004 рад. Для принятых параметров системы на рис. XIV. 54 построены

Рис. XIV.54. Логарифмические амплитудная и фазовая характеристики электрогидравлической следящей системы

логарифмические амплитудная (кривая 1) и фазовая (кривая 2) частные характеристики линейной части системы. На этом же рисунке показаны положения шаблонов (кривые 5, 6 и 7, 8), соответствующие периодическим режимам в системе. С ростом амплитуды точка шаблона выходит из области, ограниченной линиями , т. е. при частоте, соответствующей точке имеются автоколебания с частотой и амплитудой рад. Точка кривой 7 с ростом амплитуды входнт внутрь указанной области, т. е. при частоте, соответствующей точке возникают неустойчивые колебания с частотой и амплитудой рад.

Для устранения автоколебаний и неустойчивых колебаний в следящей системе выберем в качестве параллельного нелинейного корректирующего устройства тахогенератор с цепочкой RC и нелинейность типа насыщения (с зоной т. е.

и

где Примем, что ширина участка насыщения нелинейности Запишем характеристическое уравнение системы

где

Из уравнения (XIV.203) найдем

Введем в уравнение (XIV.204) следующие обозначения:

где

Для использования логарифмических частотных характеристик выражение (XIV.205) перепишем в виде

Амплитудная характеристика

где

и фазовая

Рис. XIV.55. Логарифмические амплитудная и фазовые характеристики внутреннего контура электрогидравлической следящей системы

Пользуясь полученными формулами, нетрудно вычислить функции Для принятых параметров системы построим логарифмические характеристики при рад, , соответствующие периодическим решениям (см. рис. XIV.54).

Характеристика обозначена цифрой 5, характеристика — цифрой 1 (рис. XIV.55)

На этом же рисунке построены обратные функции (кривая 2) и (кривая 6). Перенесем полученные значения обратных функций на номограмму рис. XIV.56. Найдем по номограмме значения амплитуд и фаз функции и нанесем их на рис. XIV.55 (кривые 4 и 3).

Условия гармонического баланса можно получить из формул (XIV. 196) в виде

и

В соответствии с этими соотношениями геометрически сложим кривые 4 и 3 (рис. XIV.55) с кривыми 1 и 2 (рис. XIV.54); в результате получим характеристики (кривые 3 и 4, также показанные на рис. XIV.54). Наложим на рис. XIV.54 шаблон с характеристиками

и будем его перемещать вдоль оси частот. Как видно из рис. XIV.54, нет точек пересечения линии 1 с кривой 3 шаблона, лежащих на одной вертикали с точками пересечения линии 2 с кривой 4 шаблона, что указывает на отсутствие периодических режимов в системе.

Наглядной иллюстрацией этого положения служит рис. XIV.57, где построены функции (кривая 1) и (кривая в координатах амплитуда—фаза. Кривая 1 исходной системы пересекает в двух точках кривую 2, что указывает на пояление периодических режимов в системе. Кривой 3 показана амплитудно-фазовая характеристика скорректированной системы. Как видно из рис. XIV.57, кривая 3 не пересекает кривую 2, т. е. в скорректированной системе периодические режимы отсутствуют.

Возможны и другие схемы включения нелинейных корректирующих устройств параллельного действия, подавляющих автоколебания в системах автоматического регулирования с люфтом. Например, хорошие результаты могут быть получены при включении двух нелинейных параллельных корректирующих устройств [50].