2. ОСОБЕННОСТИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОПИСАНИЯ ОБЪЕКТОВ РЕГУЛИРОВАНИЯ

Поведение объектов регулирования в динамике описывается нелинейными дифференциальными уравнениями, сложность анализа и решения которых приводит либо к введению ряда допущений, когда рассматриваемый объект регулирования может быть представлен линейным дифференциальным уравнением, либо к замене исходного нелинейного уравнения линейным, записанным через приращения переменных первого порядка от некоторых установившихся значений (метод линеаризации). Следует сразу же заметить, что такая замена нелинейных уравнений линейными справедлива лишь в ограниченном диапазоне величин приращений.

В теории автоматического регулирования применяют несколько способов составления уравнений динамики объектов регулирования. Первый способ — когда дифференциальные или разностные уравнения составляются аналитически на основе анализа физических процессов, которые могут происходить в объекте регулирования; второй — с помощью экспериментально определенных статических характеристик объекта, представленных в виде графиков; третий — по данным таблиц, полученных также экспериментальным путем, с последующей их обработкой методами регрессионного анализа; четвертый способ основан на использовании аналогового или цифрового моделирования. Применение всех этих способов будет рассмотрено в последующих параграфах настоящей главы.

Порядок уравнений динамики объектов регулирования зависит от сложности процессов, протекающих в нем, и от принятых допущений. Например, уравнения динамики ядерного энергетического реактора (см. п. 6 гл. III) при учете семи групп запаздывающих нейтронов можно представить в виде дифференциального уравнения седьмого порядка. При замене семи групп запаздывающих нейтронов одной усредненной группой ядерный реактор может быть описан в виде дифференциального уравнения второго порядка.

Самолет как объект регулирования по продольному каналу можно характеризовать дифференциальным уравнением шестого порядка, если учитывать приращения по скорости и высоте полета, углам атаки и тангажа. Изменения параметров траектории полета самолета при учете вариаций по скорости и высоте являются низкочастотными, поэтому оказывается

Рис. III.2, Блок-схема объектов регулирования: а, в — стационарных соответственно с сосредоточенными и распределенными параметрами; б, г — нестационарных с сосредоточенными и распределенными параметрами соответственно

возможным представить движение в виде суммы длинной и короткой периодических составляющих [43]. Тогда уравнения динамики самолета можно разделить на две системы. Одна из этих систем, определяющая движение около центра масе, учитывает приращения по углам атаки и тангажа и может быть описана уравнением третьего порядка. Вторая система уравнений, характеризующая движение центра масс, учитывает приращения по скорости и высоте и также может быть представлена уравнением третьего порядка.

Таким образом, при описании самолета как объекта регулирования в системах автоматической стабилизации можно учитывать лишь короткую периодическую составляющую движения. Если же рассматриваются системы дальнего наведения, то для описания динамики самолета используется длинная периодическая составляющая (см. п. 4 гл. III). Такой прием, называемый методом разделения движения, существенно упрощает расчет и проектирование систем управления летательного аппарата.

При использовании статических характеристик для составления уравнения объектов регулирования применяется метод линеаризации, сущность которого заключается в замене нелинейной характеристики линейной в некотором диапазоне изменения переменных. Такая замена в случае достаточно гладких нелинейных характеристик практически возможна во всем рабочем диапазоне изменения переменных (см. п. 4 гл. III).

Следует отметить, что к ряду объектов регулирования применить метод линеаризации невозможно, например, если нелинейные характеристики не имеют первой производной или она равна бесконетаости. В этом случае уравнения динамики объекта можно представить в виде двух уравнений: линейного дифференциального и нелинейного статическогб. К подобного рода объектам регулирования можно отнести электромагнитные муфты, гидравлические и пневматические двигатели со струйным управлением и т.

У целого ряда объектов регулирования не удается линеаризовать статические характеристики во всем диапазоне изменения переменных. Например, линеаризация уравнений трехфазного двигателя переменного тока невозможна вблизи зоны, где происходит совпадение участков устойчивого и неустойчивого положений равновесия у механических характеристик (см. п. 6 гл. III).

Дифференциальные уравнения будем записывать в векторной форме (см. прил. VI) для стационарных объектов

и для нестационарных

Соответствующие обобщенные блок-схемы этих объектов изображены на рис. III.2, а и б.

Дифференциальные уравнения в частных производных для стационарных объектов

и для нестационарных

Обобщенные блок-схемы для них приведены на рис. III.2, в и г.