6. СВОЙСТВА СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ МОЩНОСТИ

Спектральная плотность является действительной и четной функцией частоты:

Заметим, что не является действительной, поскольку не есть четная функция т. Однако выполняются следующие соотношения:

Свойство I. Положительность спектральной плотности. Спектральная плотность неотрицательна на любой частоте что доказывается теоремой Винтера—Хинчина и объясняется тем, что мощность всякого процесса в любом диапазоне частот (в том числе и сколь угодно малом) не может быть отрицательна.

Свойство 2. Связь дисперсии со спектральной плотностью. Как уже было указано, дисперсия случайного процесса выражается через его спектральную плотность мощности следующим образом:

Последнее соотношение широко используют на практике.

Свойство 3. Изменение масштаба по оси времени. Если корреляционные функции двух процессов отличаются одна от другой только масштабом по оси то соответствующие спектральные плотности связаны обратным соотношением

Это свойство для любой пары преобразований Фурье вытекает из простых преобразований

Таким образом, для процессов с медленно спадающей корреляционной функцией большая часть мощности концентрируется в низкочастотном диапазоне. Если ввести понятие эквивалентного времени корреляции процесса

и его эквивалентной полосы частот

то, полагая в (XIII.132) используя (XIII.133), получим так называемое соотношение неопределенности

Пример XIII.7. Рассмотрим процесс, спектральная плотность мощности которого постоянна на всех частотах:

Рис. XIII.17. Корреляционная функция и спектральная плотность белого шума

Из выражения (XIII.132) находим

Значения такого процесса в любые два (в том числе и сколь угодно близкие) момента времени некоррелированы один с другим, и данный процесс является разрывным в каждой точке. Физически такой процесс нереализуем, потому что дисперсия, т. е. мощность белого шума, бесконечна: при (рис. XIII.17, а).

Несмотря на это, белый шум является полезной идеализацией многих широкополосных случайных процессов (например, тепловые шумы активных сопротивлений, шумы электронных схем и измерительного тракта следящих систем и т. д.). Его можно представлять себе в виде бесконечно плотной последовательности узких независимых импульсов. Амплитуда этих импульсов может быть распределена по произвольному закону. В частности, если ее распределение является нормальным или гауссовым:

то значения процесса не только некоррелированы, но и независимы в любые два момента времени, и рассматриваемый случайный процесс является стационарным абсолютно случайным гауссовым процессом, для которого плотности любого порядка выражаются через процесс называют гауссовым белым шумом. Спектральная плотность его (рис. XIII.17, б).

Пример XIII.8. На входе следящей системы действует случайный сигнал, имеющий вид последовательности ступенек, величина каждой из которых независима от других и распределена в соответствии с плотностью вероятности не зависящей от времени. Известны математическое ожидание и дисперсия сигнала

Переход от одного значения х к другому осуществляется в случайные моменты времени, причем длительность пребывания х в состоянии случайна. Вероятность того, что за время произойдет изменение значения х, не зависит от предшествующих значений и пропорциональна при , где с есть среднее время постоянства значения

Найдем корреляционную функцию и спектральную плотность мощности процесса.

Из описания процесса очевидно, что он является стационарным. Поскольку то

где — вероятность отсутствия переходов на отрезке — вероятность их наличия.

На отрезке не будет ни одного Перехода, если его не будет ни на отрезке вероятность чего на отрезке вероятность чего Эти события независимы, поэтому при вероятность удовлетворяет уравнению

или при

Отсюда имеем при . Для имеем тогда

Выполнив преобразование Фурье для этого выражения, получим

Подставив числовые значения, будем иметь

Рис. XIII.18. Корреляционная функция и спектральная плотность процесса примера XIII.8

Рис. XIII.19 Корреляционная функция и спектральная плотность гармонического процесса со случайной фазой

Заметим, что в данном примере не зависят от конкретного вида одномерной плотности вероятности сигнала а знания двумерной плотности не потребовалось, так как свойства всех реализаций данного процесса просты.

Если задана форма всех реализаций процесса, то для отыскания удобно использовать усреднение по времени.

Пример XIII.9. Рассмотрим случайный процесс, все реализации которого синусоидальны:

где амплитуда и несущая частота — детерминированные коистанты, а фаза — случайная величина.

В этом случае корреляционная функция

Осуществляя преобразование Фурье, находим

Полученные формулы справедливы только в том случае, если процесс стационарен. Легко видеть, что это верно, если случайная фаза имеет [равномерное распределение в интервале

Для данного процесса при это отражает тот факт, что значения для любой реализации не становятся независимыми при сколь угодно больших т.