10. ОПТИМИЗАЦИЯ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ ПРИ ВОЗДЕЙСТВИИ СЛУЧАЙНЫХ СИГНАЛОВ И ШУМОВ

В качестве критерия оптимальности наиболее целесообразно выбрать среднее значение квадрата ошибки системы в установившемся режиме. Как и ранее, считаем, что на систему воздействует полезный сигнал и некоррелированный с ним шум . Предполагают известными спектральные плотности шума и случайной составляющей полезного сигнала Полезный сигнал может содержать также и нестационарное слагаемое, являющееся определенной функцией времени, например полиномом первого, второго и более высоких порядков. При этом математическое ожидание ошибки не будет равно нулю, и средний квадрат ошибки в соответствии с выражением (XIII.203) будет представлен суммой

Математическое ожидание ошибки определяют с помощью коэффициентов ошибок. Для расчетов те справедливы все формулы, полученные в настоящей главы, в которых под и другими величинами следует понимать математические ожидания соответствующих сигналов.

Большой практический интерес имеет задача отыскания минимума среднего квадрата ошибки (XIII.208) по одному или нескольким варьируемым параметрам.

Такими параметрами могут быть общий коэффициент усиления системы, постоянные времени корректирующих устройств и т. п. Как правило, эти параметры входят в выражения для всех слагаемых и для определения их оптимальных значений необходимо приравнять нулю частные производные этой величины по варьируемым параметрам

а затем убедиться, что в полученной точке действительно достигается минимум. Впрочем, как правило, это очевидно из физических соображений.

В простых случаях уравнения могут быть решены аналитически.

Рис. XIII.26. Логарифмические характеристики оптимальной системы

Пример XIII.13. Найти значение постоянной времени корректирующего звена, минимизирующее средний квадрат ошибки системы, рассмотренной в примере XIII.11.

На основании выражения (XIII.206) найдем, что

Уравнение (XIII.207) в данном случае имеет вид

или

откуда находим

Отбрасывая отрицательное значение для и учитывая, что обычно получим

Логарифмические характеристики разомкнутой системы представлены на рис. XIII.26. Кривая 2 соответствует оптимальному значению постоянной времени [см. выражение (XIII.210)].

Легко убедиться, что при данном значении достигается действительно минимум ошибки. Очевидно, что при уменьшении полоса пропускания системы будет увеличиваться и среднее квадратическое значение шума на выходе будет расти (кривая 1).

Увеличение приведет к уменьшению запаса по фазе на частоте среза (кривая , следовательно, к росту колебательности замкнутой системы, а в передаточной функции увеличится максимум характеристики вблизи частоты среза. Составляющие шума на входе системы с частотами, близкими к резонансной частоте системы, будут передаваться на выход с большим усилением, и средний квадрат ошибки снова возрастет. Минимальное значение его находим, подставляя найденное значение в выражение (XIII.206):

Аналогично можно поставить задачу отыскания коэффициента К, обеспечивающего минимальное значение Получающееся квадратное уравнение относительно К не имеет действительных положительных корней, и с ростом К среднее значение квадрата ошибки монотонно убывает.