3. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ

Рассмотрим частный случай автономной системы (XI.5), а именно линейную систему, которая описывается уравнениями

или в матричной форме записи

где

Для того чтобы проанализировать устойчивость, введем функцию Ляпунова в виде положительно определенной квадратичной формы [см. формулу (XI.14)]. Найдем производную этой функции с учетом уравнений (XI.49):

Введем обозначение

Если матрица положительно определенная, когда т. е. происходит убывание функции V, а следовательно, траектории системы стремятся к началу координат. Итак, если одновременно выполняются неравенства в некоторой области пространства переменных включающей начало координат, то положение равновесия в начале координат асимптотически устойчиво.

Теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости. Для того чтобы нулевое решение автономной линейной системы (XI.49) было асимптотически устойчиво, необходимо и достаточно, чтобы для произвольной положительно определенной матрицы существовала положительно определенная матрица Р, удовлетворяющая уравнению (XI.51). Отметим, что обе матрицы Р и являются симметрическими. Действительно, если матрица Р симметрическая, т. е. то

и, следовательно, матрица симметрическая. Справедливо и обратное.

Пример XI.9. Используя теорему Ляпунова, проанализируем устойчивость системы, структурная схема которой показана на рис. XI.7, б. Ей соответствует система уравнений

В теореме фигурирует произвольная положительно определенная матрица выберем в качестве последней единичную матрицу. Тогда уравнение (XI.60) принимает вид

Поскольку матрица симметрическая, то матрица Р также симметрическая, т. е. Составим из матричного уравнения (XI.51) три уравнения с тремя неизвестными для определения элементов

или

Решая последнюю систему, находим

Полученная матрица является положительно определенной. Следовательно, рассматриваемая линейная автономная система асимптотически устойчива.

Наряду с изложенным подходом к анализу устойчивости линейных автономных систем используется и другой способ, связанный с анализом корней характеристического уравнения матрицы А (XI.49). Характеристическое уравнение для матрицы записывается так:

где Е — единичная матрица.

Раскрывая этот определитель, получим уравнение порядка

Если все корни уравнения (XI.54) имеют отрицательные вещественные части (рис. XI.8), то нулевое решение системы (XI.49) асимптотически устойчиво.

Если среди корней уравнения (XI.54) есть хотя бы один с положительной вещественной частью, то нулевое решение системы (XI.49) неустойчиво.

Если уравнение (XI.54) не имеет корней с положительной вещественной частью, но имеется часть корней с нулевой вещественной частью, то положение равновесия системы (XI.49) будет устойчивым (неасимптотическим).

Таким образом, вопрос об устойчивости нулевого решения системы (XI.49) сводится к исследованию корней характеристического уравнения (XI.54). Однако определение корней характеристических уравнений высоких порядков представляет значительные трудности, так как корни уравнений выше четвертого порядка не выражаются аналитически через коэффициенты уравнений.

Теоремы об устойчивости линейных систем практически были бы бесполезны, если бы в природе не существовало нелинейных систем, близких в некотором смысле к линейным. Функции в уравнениях (XI. 1) могут быть разложены в степенные ряды, которые сходятся в некоторой окрестности

Рис. XI.8. Расположение корней характеристического уравнения для асимтотически устойчивой системы

начала координат. Тогда в этой окрестности наряду исходной системой можно рассматривать и систему первого приближения, которая в этой области линейна, т. е. исходная система (XI. 1) представляется в виде

где — остаточные члены.

Система уравнений

называется системой первого приближения. Эта система совершенно аналогична системе уравнений (XI.48), (XI.49).

Во многих случаях по устойчивости системы (XI.56) оказывается возможным судить и об устойчивости нелинейной системы (XI.55).

А. М. Ляпунов доказал следующие теоремы.

Если вещественные части всех корней характеристического уравнения системы первого приближения (XI.56) отрицательны, то нулевое решение системы (XI.55) асимптотически устойчиво независимо от членов разложения выше первого порядка.

Если среди корней характеристического уравнения системы первого приближения имеется хотя бы один с положительной вещественной частью, то нулевое решение системы (XI.55) неустойчиво независимо от членов разложения выше первого порядка.

Если среди корней характеристического уравнения первого приближения есть нулевые, то в этом случае для суждения об устойчивости нулевого решения системы (XI.55) необходимо учитывать члены выше первого порядка.

Рассмотрим применение этих теорем на конкретном примере.

Пример XI.10. Систему, соответствующую структурной схеме на рис. XI.9, можно описать в виде

Положение равновесия соответствует началу координат. Система первого приближения будет

Характеристическое уравнение

имеет корни

Рис. XI.9. Структурная схема динамической системы

В данном случае об устойчивости системы (XI.57), исследуя первое приближение, ничего сказать нельзя; необходимо учитывать члены разложения выше первого порядка.

Отметим, что в данном случае нулевое решение системы первого приближения неустойчиво, так как

но в то же время нелинейная система (XI.57) устойчива асимптотически.

Действительно, введем функцию Ляпунова

Производная этой функции, взятая с учетом системы (XI.57),

является знакоотрицательной. Однако, еслн то в силу уравнений (XI.57) и наоборот; следовательно, всюду, где проходят траектории системы (XI.57), производная отрицательно определена, а положительно определенна. Отсюда следует, что начало координат системы (XI.57) асимптотически устойчиво.