2. ПОСТРОЕНИЕ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ ПО ЗАДАННЫМ ПЕРЕДАТОЧНЫМ ФУНКЦИЯМ ЗАМКНУТЫХ СИСТЕМ

Для переходного процесса по регулируемой координате в замкнутой системе можно записать следующее уравнение:

где — регулируемая переменная; — передаточная функция замкнутой системы; — управляющее воздействие.

Уравнение (XII.5) можно записать и в другом виде:

где — возмущающее воздействие; — передаточная функция замкнутой системы, записанная относительно возмущающего воздействия. Ранее было показано, что

Не теряя общности изложения, в дальнейшем будем пользоваться лишь уравнением (XII.5). Рассмотрим систему автоматического регулирования, описываемую дифференциальным уравнением

Пусть начальные условия для уравнения (XII.6) имеют вид

тогда преобразование Лапласа для функции при ненулевых начальных условиях можно записать в следующем виде:

где

Первый член уравнения (XII.7) характеризует влияние воздействия на систему, а второй — воздействие начальных условий. Исследуем влияние начальных условий, положив Тогда из уравнения (XII.7) получим

Определим корни характеристического уравнения в трех случаях.

Случай 1. Характеристическое уравнение имеет действительные (не кратные) корни; тогда уравнение (XII.8) можно переписать в виде

где — корни характеристического уравнения.

Разложим уравнение (XI 1.9) на простые множители и приравняем (XII.8):

Для определения коэффициентов умножим правую и левую части уравнения (XII. 10) на множитель -где — любой корень характеристического уравнения. Тогда получим

Подставим в полеченное выражение , раскрывая неопределенность множителя при по правилу Лопиталя, найдем

где

Таким образом,

Подставляя значение в уравнение (XII. 10), получим

Используем обратное преобразование Лапласа для выражения

Следовательно,

Имея в виду это соотношение, из выражения (VII.6) найдем оригинал функции в виде

Случай 2. Среди корней есть комплексно-сопряженные корни тогда

а среди слагаемых будут содержаться члены вида с помощью формулы Эйлера можно привести к виду

Итак, из выражения (XII. 13) при наличии пар корней комплексносопряженных и действительных корней получим

Случай 3. Характеристическое уравнение содержит кратные корни, т. е.

тогда оригинал функции

Исследуем реакцию системы на управляющее воздействие при нулевых начальных условиях. Тогда из соотношения (XII.7) получим

Пусть представляет собой дробно-рациональную функцию тогда

В этом случае нетрудно получить оригинал функции в виде формул (XII.13), (ХII.16) и (XII.17).

Допустим, что имеет только действительные (не кратные) корни; тогда

Если D содержит пар корней комплексио-сопряжеиных и действительных корней, то

При наличии одного нулевого корня, т. е. формулу (XII. 19) следует переписать в виде

По аналогии с выражением (X 11.21) можно переписать и формулу (XII.20).

Пример XII. 1. А. Рассмотрим систему автоматической стабилизации самолета [69], описываемую дифференциальным уравнением;

Зададимся следующими начальными условиями:

Применив преобразование Лапласа к уравнению (XII.22), получим

Для определения оригинала по функции X необходимо выполнить следующие шагн.

1. Найти корни характеристического уравнения

Корни этого уравнения найдем с помощью цифровой вычислительной машины:

2. Определить коэффициенты

Для этого подставим в полученное выражение соответствующие значения А; тогда

Рис. ХII.3. Переходные процессы в системах автоматического регулирования. а - в системе стабилизации самолета; б - в электрогндравлической следящей системе

3. Найти решение по формуле (XII.15). Таккак все корни характеристического уравнения комплексные, то в формуле (XII. 15) следует брать только вторую сумму, т. е.

Подставляя в выражение (X 11.23) различные значения времени получим переходный процесс в системе автоматической стабилизации самолета в виде графика, показанного на рис. XII.3, а. Из этого рисунка видно, что время протекания переходного процесса .

Б. Электрогндравлнческая следящая система с бустериым силовым приводом описывается дифференциальным уравнением вида

Для простоты вычислений будем считать, что управляющее воздействие при этом Применив преобразование Лапласа к уравнению (XII.24), получим

По изображению функции необходимо найти ее оригиналу

1. Из характеристического уравнения

определим корни в виде

т. е. имеем два корня действительных и два комплексно-сопряженных.

2. Поскольку в выражении для есть один нулевой корень, то формула для определения оригинала функции имеет вид

3. Решение уравнения (X 11.24) можно записать в виде

Задаваясь различными значениями по формуле (XI 1.25) можно построить график переходного процесса в системе (рис. XII.3, б). Время протекания переходного процесса .