8. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ СИГНАЛОВ ЛИНЕЙНЫМИ СИСТЕМАМИ

В гл. III было показано, что динамические свойства линейных объектов регулирования с постоянными параметрами могут быть заданы в одной из трех эквивалентных форм:

а) дифференциальным уравнением

б) передаточной функцией

в) импульсной переходной (весовой) функцией, являющейся обратным преобразованием Лапласа от передаточной функции,

Рис. XIII.20. Преобразование среднего значения корреляционной функции и спектральной плотности случайного процесса линейной системой

Если рассматриваемая система устойчива, то все полюсы передаточной функции расположены слева от мнимой оси на плоскости и вместо преобразования Лапласа можно использовать преобразование Фурье

Выходной сигнал системы при нулевых начальных условиях выражается через сигнал на ее входе

Для устойчивых систем весовая функция быстро убывает при больших к, поэтому верхний предел интервала в последнем выражении можно положить бесконечным, так что

Легко видеть, что, если Входной сигнал ограничен по величине то выходной также будет ограниченным при условии

что является эквивалентной формой условия устойчивости рассматриваемой системы. При этом, как известно, собственное решение однородного дифференциального уравнения (XIII.172), соответствующее при любых начальных условиях для будет сколь угодно малым при достаточно больших решении будет преобладать вынужденная составляющая (XIII.176). Устойчивость и необходимое качество переходных процессов обеспечиваются методами анализа и синтеза корректирующих устройств (см. гл. XI и XII).

Теперь будем считать, что входной сигнал системы является стационарным случайным процессом с известными моментами — математическим ожиданием ту (рис. XII 1.20, а) и корреляционной функцией или спектральной плотностью мощности (рис. XIII.20, б). Оказывается, что этих характеристик достаточно Для определения аналогичных характеристик выхода Прежде всего отметим, что при условии устойчивости рассматриваемой системы любое решение уравнения (XIII. 172) будет стремиться к вынужденному решению (XIII. 176), которое является асимптотически стационарным, поскольку в подынтегральном выражении вероятностные характеристики процесса такие же, как и у процесса независимо от к, а пределы интегрирования постоянны.

Производя усреднение по множеству реализаций в уравнении (XIII.172) и переставляя операции усреднения и дифференцирования по времени, находим

т. e. математические ожидания удовлетворяют тем же уравнениям, что и сами процессы, поэтому последние при необходимости всегда можно считать центрированными. Для стационарного процесса и любое решение уравнения (XII 1.178) стремится к стационарному:

Если система описана с помощью весовой функции, то, усредняя по реализациям обе части соотношения (XIII. 176), получим

Для отыскания корреляционных функций используем выражение (XIII. 176), причем будем полагать, ввиду сделанного выше замечания, случайные процессы центрированными. Умножая обе части (XIII.176) на и производя усреднение по множеству, видим, что

или

Аналогично получим и два других соотношения:

В другой форме этот результат может быть выведен из уравнения (XIII. 172) следующим образом. Поскольку мы отыскиваем стационарную составляющую решения, то в (XIII. 172) можно заменить на Очевидно, уравнение останется справедливым, если оператор дифференцирования по времени — заменить оператором Тогда получим

Умножим обе части полученного равенства на вынесем за знак оператора дифференцирования возьмем математическое ожидание от обеих частей; тогда

что можно записать в операторном виде:

Подобными же преобразованиями доказывается, что

Эти соотношения позволяют найти связь между спектральными плотностями процессов на входе и выходе линейной системы. Поскольку

то

Согласно определению, выражение в квадратных скобках есть не что иное, как взаимная спектральная плотность мощности

Из соотношений (XIII.186) и (XIII.187) следует также, что

Полученные формулы можно наглядно трактовать с помощью структурной схемы, изображенной на рис. XIII.21, где — частотная и весовая функции, получающиеся соответственно из заменой направления оси частот и оси времени. Эти функции описывают так называемую сопряженную систему, функционирующую в обратном времени.

Рассмотрим теперь случай, когда на систему регулирования действуют два сигнала так, что

Усредняя обе части, находим закон преобразования математических ожиданий:

Для стационарных и стационарно-связанных процессов

Легко показать, что корреляционная функция выходного процесса связана с корреляционными функциями процессов следующим образом:

Осуществляя преобразование Фурье обеих частей этого уравнения, получим

При отсутствии корреляции между процессами можно записать

Полученные формулы полностью решают вопрос о преобразовании стационарного случайного процесса линейной системой в рамках корреляционной теории случайных процессов. Напомним, что они справедливы в стационарном режиме, который при анализе точности представляет наибольший интерес. Этот режим достигается при условии устойчивости системы после окончания переходных процессов в ней.

Очень часто для характеристики точности системы достаточно найти математическое ожидание и дисперсию (или среднее квадратическое отклонение от процесса на выходе. Для этого пользуются формулой, непосредственно вытекающей из (XIII.133) и (XIII.190):

Такая ситуация характерна для широко распространенного на практике случая, когда случайный процесс на входе является гауссовым с плотностью вероятности первого порядка [см. выражение (XIII.40)]. Можно доказать [62], что при линейном преобразовании процесс остается гауссовым (это является следствием центральной предельной теоремы, известной из теории вероятностей), и, следовательно, для определения всех вероятностных характеристик его достаточно знать или Таким образом, для случая нормальных (гауссовых) процессов формулы (XIII. 192) и или (XIII. 197) дают полную характеристику процесса на выходе. Для определения плотности первого порядка в стационарном режиме достаточно знать лишь

Пример Найдем дисперсию процесса на выходе линейного инерционного объекта регулирования с передаточной функцией

при действии на его входе белого шума со спектральной интенсивностью

Спектральная плотность мощности процесса на выходе системы

что совпадает с выражением (XIII.153). Соответствующая такой спектральной плотности корреляционная функция экспоненциальна (XIII.152).

Дисперсия выходного сигнала

Рассмотренный пример показывает, что можно сформировать стационарный случайный процесс со спектральной плотностью (XIII. 153), подавая на вход фильтра с передаточной функцией (XIII. 198) белый шум. Если этот шум имеет нормальное распределение, то и полученный процесс будет нормальным.

В общем случае очевидно, что произвольный случайный процесс со спектральной плотностью, которая может быть аппроксимирована дробно-рациональной функцией частоты

можно сформировать из белого шума единичной интенсивности. Для этого представим числитель и знаменатель этого выражения в виде произведения сопряженных полиномов:

причем левый сомножитель этого произведения выберем так, чтобы полюсы и нули его были расположены слева от мнимой оси в плоскости т. е. в верхней полуплоскости по . Поэтому отношение можно рассматривать как передаточную функцию устойчивого минимально-фазового фильтра, который называют формирующим фильтром.

С помощью формирующих фильтров рассмотрение реакции системы на шум с заданной спектральной плотностью может быть заменено рассмотрением реакции фильтра и системы на стандартный белый шум. Этот способ анализа часто используют как в теоретических расчетах, так и в практических исследованиях.

Наибольшее применение полученные формулы имеют при расчете точности систем регулирования в стационарном режиме.