Главная > Автоматическое регулирование. Теория и элементы систем
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
598
599
600
601
602
603
604
605
606
607
608
609
610
611
612
613
614
615
616
617
618
619
620
621
622
623
624
625
626
627
628
629
630
631
632
633
634
635
636
637
638
639
640
641
642
643
644
645
646
647
648
649
650
651
652
653
654
655
656
657
658
659
660
661
662
663
664
665
666
667
668
669
670
671
672
673
674
675
676
677
678
679
680
681
682
683
684
685
686
687
688
689
690
691
692
693
694
695
696
697
698
699
700
701
702
703
704
705
706
707
708
709
710
711
712
713
714
715
716
717
718
719
720
721
722
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

8. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ СИГНАЛОВ ЛИНЕЙНЫМИ СИСТЕМАМИ

В гл. III было показано, что динамические свойства линейных объектов регулирования с постоянными параметрами могут быть заданы в одной из трех эквивалентных форм:

а) дифференциальным уравнением

б) передаточной функцией

в) импульсной переходной (весовой) функцией, являющейся обратным преобразованием Лапласа от передаточной функции,

Рис. XIII.20. Преобразование среднего значения корреляционной функции и спектральной плотности случайного процесса линейной системой

Если рассматриваемая система устойчива, то все полюсы передаточной функции расположены слева от мнимой оси на плоскости и вместо преобразования Лапласа можно использовать преобразование Фурье

Выходной сигнал системы при нулевых начальных условиях выражается через сигнал на ее входе

Для устойчивых систем весовая функция быстро убывает при больших к, поэтому верхний предел интервала в последнем выражении можно положить бесконечным, так что

Легко видеть, что, если Входной сигнал ограничен по величине то выходной также будет ограниченным при условии

что является эквивалентной формой условия устойчивости рассматриваемой системы. При этом, как известно, собственное решение однородного дифференциального уравнения (XIII.172), соответствующее при любых начальных условиях для будет сколь угодно малым при достаточно больших решении будет преобладать вынужденная составляющая (XIII.176). Устойчивость и необходимое качество переходных процессов обеспечиваются методами анализа и синтеза корректирующих устройств (см. гл. XI и XII).

Теперь будем считать, что входной сигнал системы является стационарным случайным процессом с известными моментами — математическим ожиданием ту (рис. XII 1.20, а) и корреляционной функцией или спектральной плотностью мощности (рис. XIII.20, б). Оказывается, что этих характеристик достаточно Для определения аналогичных характеристик выхода Прежде всего отметим, что при условии устойчивости рассматриваемой системы любое решение уравнения (XIII. 172) будет стремиться к вынужденному решению (XIII. 176), которое является асимптотически стационарным, поскольку в подынтегральном выражении вероятностные характеристики процесса такие же, как и у процесса независимо от к, а пределы интегрирования постоянны.

Производя усреднение по множеству реализаций в уравнении (XIII.172) и переставляя операции усреднения и дифференцирования по времени, находим

т. e. математические ожидания удовлетворяют тем же уравнениям, что и сами процессы, поэтому последние при необходимости всегда можно считать центрированными. Для стационарного процесса и любое решение уравнения (XII 1.178) стремится к стационарному:

Если система описана с помощью весовой функции, то, усредняя по реализациям обе части соотношения (XIII. 176), получим

Для отыскания корреляционных функций используем выражение (XIII. 176), причем будем полагать, ввиду сделанного выше замечания, случайные процессы центрированными. Умножая обе части (XIII.176) на и производя усреднение по множеству, видим, что

или

Аналогично получим и два других соотношения:

В другой форме этот результат может быть выведен из уравнения (XIII. 172) следующим образом. Поскольку мы отыскиваем стационарную составляющую решения, то в (XIII. 172) можно заменить на Очевидно, уравнение останется справедливым, если оператор дифференцирования по времени — заменить оператором Тогда получим

Умножим обе части полученного равенства на вынесем за знак оператора дифференцирования возьмем математическое ожидание от обеих частей; тогда

что можно записать в операторном виде:

Подобными же преобразованиями доказывается, что

Эти соотношения позволяют найти связь между спектральными плотностями процессов на входе и выходе линейной системы. Поскольку

то

Согласно определению, выражение в квадратных скобках есть не что иное, как взаимная спектральная плотность мощности

Из соотношений (XIII.186) и (XIII.187) следует также, что

Полученные формулы можно наглядно трактовать с помощью структурной схемы, изображенной на рис. XIII.21, где — частотная и весовая функции, получающиеся соответственно из заменой направления оси частот и оси времени. Эти функции описывают так называемую сопряженную систему, функционирующую в обратном времени.

Рассмотрим теперь случай, когда на систему регулирования действуют два сигнала так, что

Усредняя обе части, находим закон преобразования математических ожиданий:

Для стационарных и стационарно-связанных процессов

Легко показать, что корреляционная функция выходного процесса связана с корреляционными функциями процессов следующим образом:

Осуществляя преобразование Фурье обеих частей этого уравнения, получим

При отсутствии корреляции между процессами можно записать

Полученные формулы полностью решают вопрос о преобразовании стационарного случайного процесса линейной системой в рамках корреляционной теории случайных процессов. Напомним, что они справедливы в стационарном режиме, который при анализе точности представляет наибольший интерес. Этот режим достигается при условии устойчивости системы после окончания переходных процессов в ней.

Очень часто для характеристики точности системы достаточно найти математическое ожидание и дисперсию (или среднее квадратическое отклонение от процесса на выходе. Для этого пользуются формулой, непосредственно вытекающей из (XIII.133) и (XIII.190):

Такая ситуация характерна для широко распространенного на практике случая, когда случайный процесс на входе является гауссовым с плотностью вероятности первого порядка [см. выражение (XIII.40)]. Можно доказать [62], что при линейном преобразовании процесс остается гауссовым (это является следствием центральной предельной теоремы, известной из теории вероятностей), и, следовательно, для определения всех вероятностных характеристик его достаточно знать или Таким образом, для случая нормальных (гауссовых) процессов формулы (XIII. 192) и или (XIII. 197) дают полную характеристику процесса на выходе. Для определения плотности первого порядка в стационарном режиме достаточно знать лишь

Пример Найдем дисперсию процесса на выходе линейного инерционного объекта регулирования с передаточной функцией

при действии на его входе белого шума со спектральной интенсивностью

Спектральная плотность мощности процесса на выходе системы

что совпадает с выражением (XIII.153). Соответствующая такой спектральной плотности корреляционная функция экспоненциальна (XIII.152).

Дисперсия выходного сигнала

Рассмотренный пример показывает, что можно сформировать стационарный случайный процесс со спектральной плотностью (XIII. 153), подавая на вход фильтра с передаточной функцией (XIII. 198) белый шум. Если этот шум имеет нормальное распределение, то и полученный процесс будет нормальным.

В общем случае очевидно, что произвольный случайный процесс со спектральной плотностью, которая может быть аппроксимирована дробно-рациональной функцией частоты

можно сформировать из белого шума единичной интенсивности. Для этого представим числитель и знаменатель этого выражения в виде произведения сопряженных полиномов:

причем левый сомножитель этого произведения выберем так, чтобы полюсы и нули его были расположены слева от мнимой оси в плоскости т. е. в верхней полуплоскости по . Поэтому отношение можно рассматривать как передаточную функцию устойчивого минимально-фазового фильтра, который называют формирующим фильтром.

С помощью формирующих фильтров рассмотрение реакции системы на шум с заданной спектральной плотностью может быть заменено рассмотрением реакции фильтра и системы на стандартный белый шум. Этот способ анализа часто используют как в теоретических расчетах, так и в практических исследованиях.

Наибольшее применение полученные формулы имеют при расчете точности систем регулирования в стационарном режиме.

1
Оглавление
email@scask.ru