Так как по условию теоремы производная при 
существует, то, переходя к пределу при 
получим
Но соотношения 
совместимы лишь в том случае, если 
. Следовательно, внутри отрезка 
имеется точка с, в которой производная 
равна нулю.
Рис. 92.
Теорема о корнях производной имеет простое геометрическое истолкование: если непрерывная кривая, имеющая в каждой точке касательную, пересекает ось 
в точках с абсциссами а и b, то на этой кривой найдется по крайней мере одна точка с абсциссой с, 
в которой касательная параллельна оси Ох.
Замечание 1. Доказанная теорема остается справедливой и для такой дифференцируемой функции, которая на концах отрезка 
не обращается в нуль, но принимает равные значения f (a) = f (b) (рис. 92). Доказательство в этом случае проводится точно так же, как и ранее.
Замечание 2. Если функция 
такова, что производная существует не во всех точках внутри отрезка 
то утверждение теоремы может оказаться неверным (т. е. в рис. 93. этом случае на отрезке 
может не оказаться такой точки с, в которой производная 
обращается в нуль).
Рис. 93.
Рис. 94.
Так, например, функция 
(рис. 93) непрерывна на отрезке [-1, 1] и обращается в нуль на концах отрезка, однако производная 
внутри промежутка в нуль
не обращается. Это происходит оттого, что внутри промежутка существует точка 
в которой производная не существует (обращается в бесконечность).
График, изображенный на рис. 94, дает нам еще один пример функции, производная которой не обращается в нуль на отрезке
Для этой функции также не выполнены условия теоремы Ролля, так как в точке 
функция не имеет производной.
непрерывна на отрезке 
дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка и на концах 
обращается в нуль 
то внутри отрезка 
существует по крайней мере одна точка 
в которой производная 
обращается в нуль, т. е. 
непрерывна на отрезке 
то она имеет на этом отрезке наибольшее значение М и наименьшее значение 
.
то функция 
постоянна, т. е. при всех значениях 
имеет постоянное значение 
. Но тогда в любой точке отрезка будет 
и теорема доказана.
Тогда по крайней мере одно из этих чисел не равно нулю.
и что функция принимает свое наибольшее значение при 
При этом заметим, что с не равно ни а, ни b, так как по условию 
. Так как 
наибольшее значение функции, то 
как при 
так и при 
