§ 6. Силовские подгруппы

Пусть — простое число. Под - группой мы понимаем конечную группу, порядок которой является степенью (т. е. равен для некоторого целого ). Пусть G — конечная группа и Н — ее подгруппа. Мы называем Н -подгруппой в G, если Н — -группа. Мы называем Н силовской -подгруппой, если порядок Н есть и если -наибольшая степень , делящая порядок G. Ниже мы докажем, что такие подгруппы всегда существуют.

Для этого нам понадобится лемма.

Лемма. Пусть G — конечная абелева группа порядка — простое число, делящее . Тогда G содержит подгруппу порядка .

Доказательство. Докажем сначала по индукции, что если G имеет показатель , то порядок группы G делит некоторую степень . Пусть , и пусть Н—циклическая подгруппа, порожденная b. Тогда порядок Н делит , так как . Далее, есть показатель для Следовательно, порядок факторгруппы делит, согласно индуктивному предположению, некоторую степень , а в таком случае это справедливо и для порядка G, потому что

Пусть порядок группы G делится на . В силу только что доказанного в G существует элемент период которого делится на . Пусть этот период равен где s — некоторое целое число. Тогда и, очевидно, элемент имеет период и порождает подгруппу порядка , что и требовалось доказать.

Теорема 1. Пусть G — конечная группа и — простое число, делящее ее порядок. Тогда в G существует силовская -подгруппа.

Доказательство проводится индукцией по порядку G. Если порядок простой, то наше утверждение очевидно. Предположим теперь, что теорема доказана для всех групп, порядок которых меньше порядка G. Если в G имеется собственная подгруппа Н, индекс которой взаимно прост с , то силовская -подгруппа в Н будет также силовской - подгруппой в G и наше утверждение справедливо по индукции. Мы можем поэтому предположить, что у всякой собственной подгруппы индекс делится на . Пусть теперь G действует на себе посредством сопряжений. Из формулы классов получаем

Здесь - центр G и член ) соответствует орбитам, состоящим из одного элемента, т. е. как раз элементам из Z. Сумма справа берется по всем другим орбитам, поэтому каждый индекс и по предположению делится на . Так как делит порядок G, отсюда следует, что должно делить порядок Z; в частности, G имеет нетривиальный центр.

Согласно лемме, в Z существует циклическая подгруппа Н, порожденная элементом порядка .

Так как подгруппа Н содержится в Z, то она нормальна. Пусть - каноническое отображение. Если - наибольшая степень , делящая то делит порядок Пусть К — силовская -подгруппа в (существующая по предположению индукции), и пусть

Тогда отображает на . Следовательно, имеет место изоморфизм и имеет порядок что и требовалось доказать.

Теорема 2. Для всякой конечной группы G

(i) каждая -подгруппа содержится в некоторой силовской -подгруппе;

(ii) все силовские - подгруппы сопряжены;

(iii) число силовских -подгрупп .

Доказательство. Все доказательства являются применениями техники, связанной с формулой классов. Пусть S — множество силовских -подгрупп в G. Тогда G действует на S посредством сопряжения. Пусть Р — одна из силовских -подгрупп. Группа изотропии подгруппы Р содержит Р, и, следовательно, орбита подгруппы Р (обозначим ее через ) имеет порядок, взаимно простой с . Пусть Н — -подгруппа порядка Тогда Н действует посредством сопряжений на распадается в объединение не пересекающихся орбит относительно Н. Так как порядок Н есть степень , то индекс любой ее собственной подгруппы делится на , следовательно, хотя бы одна из Н-орбит в S0 должна состоять только из одного элемента, а именно из некоторой силовской подгруппы Р. Тогда Н содержится в нормализаторе Р и, следовательно, HP есть подгруппа в G. Кроме того, Р нормальна в HP. Так как

то порядок есть степень , а потому и порядок HP есть степень . Так как Р — максимальная -подгруппа в G, то мы должны иметь и, следовательно, что доказывает

В частности, рассмотрим случай, когда Н — силовская -подгруппа в G. Как мы показали, Н содержится в некоторой подгруппе, сопряженной с Р, и, значит, совпадает с ней (так как порядки их одинаковы). Это доказывает Наконец, возьмем Тогда одна из орбит относительно Н содержит ровно один элемент (сама Р), а все другие орбиты имеют более одного элемента; в действительности порядки этих орбит делятся на , поскольку они равны индексам собственных подгрупп в Р. Это доказывает

Теорема 3. Пусть G — конечная -группа. Тогда G разрешима. Если ее порядок то G имеет нетривиальный центр.

Доказательство. Первое утверждение следует из второго, так как если G имеет центр Z и мы по индукции имеем абелеву башню для то мы можем поднять эту абелеву башню до G, показав тем самым, что G разрешима. Чтобы доказать второе утверждение, воспользуемся формулой классов

здесь сумма берется лишь по тем для которых . Очевидно, делит а также делит каждый член в сумме, так что порядок центра делится на , что и требовалось доказать.

Следствие. Пусть -группа, порядок которой отличен от 1. Тогда существует последовательность подгрупп

такая, что каждая подгруппа нормальна в G и — циклическая группа порядка

Доказательство. Так как центр группы G нетривиален, то в нем имеется элемент порядка . Пусть Н — циклическая группа, порожденная а. По индукции, если , то в факторгруппе мы можем найти последовательность подгрупп, удовлетворяющую сформулированным требованиям. Взяв прообраз этой башни получим искомую последовательность.