§ 7. Категории и функторы

Теперь, прежде чем идти дальше, нам будет удобно ввести новую терминологию. Мы уже встречались с объектами разного рода: множествами, моноидами, группами. Со многими другими мы еще встретимся, а для каждого такого рода объектов мы определяем специальный род отображений между ними (например, гомоморфизмы). Некоторые формальные свойства являются общими для всех них, а именно существование тождественных отображений объектов на себя и ассоциативность отображений, выполняемых одно за другим. Мы введем понятие категории, чтобы дать общее абстрактное описание таких ситуаций.

Категория А включает в себя следующее: класс объектов для всяких двух объектов множество , называемое множеством морфизмов объекта А в для всяких трех объектов закон композиции (т. е. отображение)

При этом должны выполняться аксиомы:

КАТ 1. Два множества не пересекаются, за исключением случая в этом случае равны.

КАТ 2. Для каждого объекта А из А имеется морфизм который для всех объектов действует тождественно слева и справа на элементы множеств и соответственно.

КАТ 3. Закон композиции ассоциативен (в случае, когда он определен), т. е. если то

для любых объектов из А.

Здесь мы сознательно записываем композицию элемента g из Мог и элемента из Мог как , т. е. как композицию отображений. Далее, в этой книге мы увидим, что на практике морфизмы в большинстве случаев действительно являются отображениями или тесно связаны с отображениями.

Класс всех морфизмов категории А будет обозначаться символом из Мы будем иногда использовать запись чтобы выразить, что - какой-то морфизм из А, т. е. элемент некоторого множества Мог , где .

Иногда, неточно выражаясь, мы будем называть категорией сам класс объектов — в том случае, когда ясно, что понимается под морфизмами этой категории.

Элемент записывается также в виде или

Морфизм называется изоморфизмом, если существует морфизм такой, что являются тождественными морфизмами в соответственно. Если то изоморфизм мы называем также автоморфизмом.

Морфизмы объекта А в себя называются эндоморфизмами. Множество эндоморфизмов объекта А обозначается символом . Из наших аксиом немедленно вытекает, что — моноид.

Пусть А — объект категории . Мы обозначаем через множество его автоморфизмов. Это множество в действительности является группой, поскольку все наши определения так и подобраны, чтобы выполнялись групповые аксиомы (ассоциативность, существование единичного элемента и обратного). Таким образом, мы теперь начинаем улавливать некую обратную связь между абстрактными и более конкретными категориями.

Примеры. Пусть — категория, объектами которой служат множества, а морфизмами — отображения множеств. Мы говорим просто, что — категория множеств. Три аксиомы КАТ 1, 2, 3 тривиальным образом удовлетворяются.

Пусть категория групп, т. е. категория, объектами которой служат группы, а морфизмами — гомоморфизмы групп. Снова все три аксиомы тривиально выполняются. Аналогично имеем категорию моноидов, обозначаемую символом

Ясно также, что - множества для всякой группы G образуют категорию (с очевидными морфизмами).

Вообще мы можем теперь определить понятие действия группы G на объекте в любой категории. Действительно, пусть А — некоторая категория и Под действием G на А мы будем понимать гомоморфизм G в группу . Обычно объект А является множеством и автоморфизм из действует на А как на множестве, т. е. индуцирует перестановку на А. Таким образом, если нам задан гомоморфизм

то для каждого мы имеем автоморфизм объекта А, являющийся перестановкой на А.

Рассмотрим специальный случай, когда А — категория абелевых групп, которую можно обозначить символом . Пусть А — абелева группа, G — группа, и пусть задано действие G на группе А, т. е. гомоморфизм

Будем обозначать через а элемент Тогда для всех имеем

Заметим, что когда группа G действует на себе посредством сопряжений, то G действует на себе не только как на множестве, но и как на объекте в категории групп, т. е. перестановки, индуцированные этим действием, в действительности являются автоморфизмами групп.

Аналогично мы введем позднее другие категории (колец, модулей, полей), и у нас уже есть общее определение того, что следует понимать под действием группы на объекте в любой из этих категорий.

Пусть А — категория. Мы можем взять в качестве объектов новой категории морфизмы из

Если — два морфизма из следовательно, объекты из , то мы определяем морфизм (в как пару морфизмов ) из для которых следующая диаграмма коммутативна:

Ясно, что — категория (строго говоря, как и в случае отображений множеств, следовало бы снабжать ) индексами . Но на практике такая индексация опускается).

Имеется много вариаций на эту тему. Так, мы можем сосредоточить свое внимание на тех морфизмах из А, у которых фиксирован исходный объект, или на тех, у которых фиксирован конечный объект.

Пусть, например, А — некоторый объект в А, и пусть А а — категория, объектами которой служат морфизмы

из А, для которых А — конечный объект. Морфизм в — это просто такой морфизм

из А, что диаграмма

коммутативна.

Пусть А, -категории. Ковариантный функтор F из А в — это правило, сопоставляющее каждому объекту А в А некоторый объект F(А) в и каждому морфизму — морфизм таким образом, что выполняются следующие условия:

ФУН 1. Для всякого А из А имеем

ФУН 2. Если — два морфизма из А, то

Пример. Сопоставив каждой группе G ее множество (сняв с нет групповую структуру) и каждому групповому гомоморфизму сам этот гомоморфизм, рассматриваемый лишь с теоретико-множественной точки зрения, мы получим функтор из категории групп в категорию множеств. Такой функтор называется стирающим функтором.

Заметим, что всякий функтор преобразует изоморфизмы в изоморфизмы, так как влечет

Можно определить понятие контравариантного функтора из используя то же самое условие ФУН 1 и обращая стрелки в условии ФУН 2, т. е. каждому морфизму контравариантный функтор сопоставляет морфизм

(идущий в противоположном направлении) таким образом, что если

— морфизмы в А, то

Иногда для обозначения функтора пишут вместо в случае ковариантного функтора и в случае контравариантного функтора.

Пример. Пусть А — некоторая категория и А—фиксированный объект в А. Мы получим ковариантный функтор

положив для любого объекта X из А. Если - морфизм, то возьмем в качестве

отображение, задаваемое правилом

для любого ,

Аксиомы ФУН 1 и ФУН 2 проверяются тривиально.

Аналогично для каждого объекта В из А мы имеем контравариантный функтор

такой, что . Если — морфизм, то

есть отображение, задаваемое правилом

для любого ,

Предыдущие два функтора называются представляющими функторами.

Рассмотрим важный специальный случай, когда мы имеем дело с категорией групп. Если S — множество и G — группа, то, как мы отмечали в § 2, множество отображений само есть группа. Если G, G — две группы, то множество морфизмов Мог в категории групп — это просто множество гомоморфизмов G в G; оно будет обозначаться . Заметим, что не будет, вообще говоря, группой, если G — неабелева группа.

Отметим, кроме того, тот важный факт, что представляющие функторы приводят к гомоморфизмам. Рассмотрим, например, ковариантный представляющий функтор. Пусть S — множество, — группы и — гомоморфизм групп. Имеем индуцированное отображение

задаваемое правилом Если , то для

Следовательно, — гомоморфизм. Аналогичное утверждение справедливо и для контравариантного представляющего функтора.

Тот факт, что есть группа, когда обе группы G, X коммутативны, заслуживает особого внимания. Мы изучим коммутативный случай более детально, когда будем иметь дело с дуальными группами, и позднее, когда будем рассматривать двойственность векторных пространств. Эти разделы дают хорошие дополнительные примеры для обсуждаемых здесь понятий, и читатель может сразу обратиться к ним, если пожелает.

Как отметил Гротендик, представляющие функторы можно использовать, чтобы перенести определения некоторых структур на множествах в произвольные категории. Например, пусть A — категория и G — объект из A. Мы говорим, что G — групповой объект в Л, если для каждого объекта X из A задана групповая структура на множестве таким образом, что сопоставление

функториалыю (т. е. является функтором из категории A в категорию групп). Множество иногда обозначают через и мыслят его как множество точек объекта G в X. За оправданием этой терминологии читатель отсылается к гл. X, § 3.

Другим примером может служить понятие произведения, определенное в категории множеств. Мы распространим это понятие на произвольные категории так, чтобы оно было согласовано с представляющими функторами.