§ 4. Теорема Жордана — Гёльдера

Мы начнем с некоторых чисто теоретико-групповых результатов. Как и элементарные теоремы об изоморфизмах, они имеют аналоги для модулей, которые будут сформулированы позже.

Лемма о бабочке (Цассенхауз). Пусть U, V — подгруппы некоторой группы, и пусть и, v — нормальные подгруппы в U и в V соответственно. Тогда

и соответствующие факторгруппы изоморфны, т. е.

Доказательство. Комбинация групп и факторгрупп становится ясной, если посмотреть на следующую диаграмму подгрупп (которая и дала название лемме):

На этой диаграмме нам заданы U, u, V, v. Остальные вершины в диаграмме соответствуют группам, которые определяются следующим образом. Пересечение двух отрезков, идущих вниз, представляет пересечение групп. Два отрезка, идущие вверх, пересекаются в вершине, которая представляет произведение двух подгрупп (т. е. наименьшую подгруппу, содержащую их обеих).

Рассмотрим два параллелограмма, составляющие крылья бабочки, и докажем, что противоположные стороны этих параллелограммов равны.

Действительно, вертикальная сторона, общая обоим параллелограммам, имеет в качестве верхнего конца и в качестве нижнего конца. Имеем изоморфизм

Он получается из теоремы об изоморфизме

если положить Таким образом, средняя вертикальная сторона равна вертикальной стороне слева. В силу симметрии она равна также вертикальной стороне справа, и так как две величины, равные порознь третьей, равны между собой, то наша лемма доказана.

Пусть G — группа, и пусть

— нормальные башни подгрупп, заканчивающиеся тривиальной группой,

Мы будам говорить, что эти башни эквивалентны, если и если существует такая перестановка индексов что

Другими словами, последовательности факторгрупп в двух наших башнях одинаковы с точностью до изоморфизма и перестановки индексов.

Теорема 4 (Шрейер). Для всякой группы G две нормальные башни подгрупп, заканчивающиеся тривиальной группой, обладают эквивалентными уплотнениями.

Доказательство. Рассмотрим две указанные башни. Для каждого положим

Тогда и мы получаем уплотнение первой башни

Аналогично полагаем

для . Это дает уплотнение второй башни. В силу леммы о бабочке для имеем изоморфизмы

Каждая из наших уплотненных башен имеет элементов, а именно в первом случае, во втором случае. Предыдущие изоморфизмы для каждой пары индексов показывают, что наши уплотненные башни эквивалентны, что и требовалось доказать.

Группа G называется простой, если она не тривиальна и не имеет других нормальных подгрупп, кроме и самой себя.

Теорема 5 (Жордан — Гёльдер). Пусть G — группа и

— такая нормальная башня, что каждая группа проста для Тогда любая другая нормальная башня группы G, обладающая теми же свойствами, ей эквивалентна.

Доказательство. Заметим, что при любом уплотнении нашей башни для каждого i существует в точности один индекс у, для которого Таким образом, последовательность нетривиальных факторов в исходной башне и в уплотненной одинакова. Теорема доказана.

Точно так же как и в случае элементарных теорем об изоморфизме для групп, имеются аналоги теорем 4 и S для модулей. Разумеется, в случае модулей нам нет нужды беспокоиться о нормальности подмодулей.

Если М — модуль (над кольцом А), то последовательность подмодулей

называется также конечной фильтрацией, причем называется длиной фильтрации. Говорят, что модуль М простой, если он не содержит никаких подмодулей, отличных от и самого себя, и если Фильтрация называется простой, если каждый фактормодуль простой. Теорема Жордана — Гёльдера утверждает, что всякие две простые фильтрации модуля эквивалентны.

Модуль М называется модулем конечной длины, если он равен 0 или же обладает простой (конечной) фильтрацией. По теореме Жордана — Гёльдера длина такой простой фильтрации однозначно определена; она называется длиной модуля. На языке эйлеровых характеристик теорема Жордана — Гёльдера может быть переформулирована так:

Теорема 6. Пусть — правило, которое каждому простому модулю сопоставляет элемент некоторой коммутативной группы Г, причем , если ММ. Тогда обладает единственным продолжением до отображения Эйлера — Пуанкаре, определенного на всех модулях конечной длины.

Доказательство. Для заданной простой фильтрации

положим

Из теоремы Жордана — Гёльдера непосредственно следует, что эта функция правильно определена и что такое продолжение является отображением Эйлера — Пуанкаре.

В частности, мы видим, что длина модуля есть отображение Эйлера — Пуанкаре, принимающее свои значения в аддитивной группе целых чисел и имеющее значение 1 для любого простого модуля.