§ 2. Определение многочленов

Пусть S — некоторое множество и N — аддитивный моноид целых чисел 0 (т. е. моноид натуральных чисел). Обозначим через

множество функций которые равны 0 для почти всех элементов из S. (Это по существу та же самая конструкция, которую мы применяли для получения свободных абелевых групп; в настоящем случае мы получаем свободный абелев моноид. Однако мы будем записывать его мультипликативно.) Пусть мы обозначаем через функцию, которая принимает значение Если — две функции из то их произведение определяется формулой

Тогда будет мультипликативным моноидом, единичным элементом которого служит нулевая функция. Всякий элемент имеет единственное представление в виде произведения

где - отображение, для которого при почти всех Такое произведение будет называться примитивным одночленом и будет иногда обозначаться символом или просто

Имеем вложение (задаваемое правилом - образ которого порождает как моноид. Отметим, что если — целое число то элемент

равен т. е. наше обозначение согласуется с обозначением, используемым для произведения функций.

Заметим, что если

- примитивные одночлены, то их произведение равно

Как и в случае абелевых групп, имеет место свойство универсальности. Именно, пусть G — коммутативный моноид. Для всякого данного отображения существует единственный гомоморфизм моноидов для которого коммутативна следующая диаграмма:

В частности, для всякого данного отображения одного множества в другое существует гомоморфизм моноидов для которого коммутативна следующая диаграмма:

иными словами,

Доказательство этого утверждения тривиально, как и в случае абелевых групп. Можно рассматривать как функтор из категории множеств в категорию коммутативных моноидов.

Пусть А — коммутативное кольцо. Тогда можно образовать моноидную алгебру над А, которую мы будем называть кольцом (или алгеброй) многочленов от S над А. Для простоты мы будем обозначать это кольцо через А [S]. По определению всякий элемент из А [S] имеет единственное представление в виде линейной комбинации

где (v) пробегает все отображения множества S в N, обращающиеся в 0 для почти всех равно 0 для почти всех (v). Примитивные одночлены образуют базис алгебры А [S] над А, как было отмечено выше для моноидных алгебр. Элементы из называются многочленами от S над А. Элементы называются коэффициентами многочлена.

Замечание об обозначениях. Пусть Т — подмножество коммутативного кольца — отображение, для которого при почти всех Мы будем через (Т) обозначать также элемент

причем подразумевается, что это произведение берется по тем для которых и что пустое произведение есть единичный элемент в В.

Никакой путаницы с обозначениями для одночленов не возникнет, так как из контекста всегда будет ясно, что мы имеем в виду.

Если S есть множество из символов то

и мы будем говорить о кольце (или алгебре) многочленов от над А. Мы иногда будем использовать векторное обозначение и писать вместо

Всякий многочлен из может быть однозначно записан в виде

где сумма берется по всем наборам из целых чисел причем почти все коэффициенты равны 0.

Пусть снова S — произвольное множество. Отметим, что и S, и А обладают каноническими инъективными отображениями в задаваемыми соответствиями

В действительности каноническое отображение А в А [S] является кольцевым гомоморфизмом, именно вложением. Можно безболезненно отождествлять S и А с соответствующими образами в А [S]. Одночлен служащий единичным элементом в моноиде обозначается также через 1, поскольку это не приводит ни к какой путанице. Таким образом, если S состоит из одного символа X, то всякий многочлен может быть записан в виде

где — некоторое целое число 0.

Пусть А, В — коммутативные кольца и — некоторая А-алгебра. Пусть S — подмножество в В. Если семейство одночленов

линейно независимо над А, то мы будем говорить, что S алгебраически независимо над А, или что элементы из S алгебраически независимы над А. Можно было бы также рассмотреть занумерованное множество образовать одночлены

и назвать семейство алгебраически независимым, если одночлены линейно независимы над А.

В частности, когда множество S конечно, скажем одночлены имеют вид

где пробегает все наборы из целых чисел 0.

Наша конструкция алгебры многочленов показывает, как при заданном коммутативном кольце А можно построить Л-алгебру, имеющую сколь угодно много алгебраически независимых элементов.

Следующая теорема дает нам важное свойство универсальности для алгебраически независимых элементов.

Теорема 1. Пусть А, В — коммутативные кольца, -алгебра, S — подмножество в В, порождающее В. Предположим, что элементы из S алгебраически независимы над А. Пусть А—коммутативное кольцо, — гомоморфизм колец и X: — некоторое отображение. Тогда существует единственный гомоморфизм колец для которого диаграмма

коммутативна, и ограничение h на S равно X.

Доказательство. Пусть G — мультипликативный моноид, состоящий из всех элементов в В. Если то так как иначе мы имели бы соотношение линейной зависимости

Следовательно, отображение , для которого

является гомоморфизмом моноидов. Для завершения доказательства применяем предложение 1.

Мы можем применить теорему 1 к алгебре многочленов А [S], отождествив множество S с его каноническим образом в А [S]. Тогда, если и

то гомоморфизм h записывается так:

Рассмотрим частный случай, когда S — конечное множество, состоящее из различных элементов алгебраически независимых над А. Пусть суть различных символов. Тогда имеется гомоморфизм колец

отображающий и индуцирующий тождественное отображение на А. Из определений тотчас видно, что его ядро должно быть равно 0 и что поэтому мы имеем изоморфизм. В частности, любые два кольца, порожденные над алгебраически независимыми элементами, изоморфны.

Имеется еще несколько частных случаев теоремы 1, которые мы специально отметим.

Пусть сначала А фиксировано, и пусть S, S — два множества с заданной биекцией к: Рассматривая S как подмножество в А [S], получаем изоморфизм

индуцирующий биекцию S на S. В случае когда S состоит из символов и S состоит из символов мы видим, что кольца многочленов изоморфны, причем этот изоморфизм для каждого переводит

Предположим, что S содержится в S. Тогда канонически вкладывается в Если S есть множество есть множество

то мы можем считать кольцо многочленов содержащимся в Одночлен

может рассматриваться как одночлен от если продолжить функцию v так, чтобы для

Пусть теперь А — подкольцо кольца А и S — некоторое множество. Тогда имеем естественное вложение А [S] в а именно многочлен

коэффициентами в А может рассматриваться как многочлен, имеющий коэффициенты в А. Мы будем отождествлять А [S] с соответствующим подкольцом в А [S].

Более общо, пусть — гомоморфизм коммутативных колец. Тогда этот гомоморфизм единственным способом продолжается до гомоморфизма колец

индуцирующего тождественное отображение на S.

Например, пусть -множество из символов Тогда

есть гомоморфизм колец, задаваемый отображением

Пусть а обозначает многочлен, стоящий слева от стрелки; мы часто будем обозначать многочлен, стоящий справа, символом

Можно сказать, что получается из а применением о к коэффициентам а.

Пусть А — целостное кольцо и — его простой идеал. Пусть о: — канонический гомоморфизм А на Если многочлен из то будет иногда называться редукцией а по модулю .

Например, взяв где — простое число, мы можем говорить о многочлене как о многочлене рассматривая коэффициенты 3, —1, 2 как целые числа т. е. как элементы из