§ 2. Примеры и приложения

Пусть - поле, - многочлен степени 1 из и

— его разложение на множители в поле разложения К над k. Пусть G — группа Галуа поля К над k. Мы называем G группой Галуа многочлена над k. Элементы из G переставляют корни многочлена . Таким образом, мы имеем инъективный гомоморфизм группы G в симметрическую группу на элементах. Не всякая перестановка обязательно задается некоторым элементом из G. Ниже мы рассмотрим примеры.

Пример 1. Пусть k — поле . Если а не является квадратом в k, то многочлен не имеет корня в k и потому неприводим. Предположим, что . Тогда многочлен сепарабелен (поскольку и если а — некоторый его корень, то -поле разложения, являющееся расширением Галуа. Его группа Галуа — циклическая порядка 2. Выделение полного квадрата показывает, что так описывается всякое квадратичное расширение (для ).

Пример 2. Пусть - поле характеристики или — многочлен над k. (Любой многочлен степени 3 может быть приведен к такому виду посредством выделения полного куба.) Если не имеет корней в k, то неприводим (любое разложение на множители должно содержать множитель степени 1). Если а — корень многочлена , то . Пусть К — поле разложения и G — его группа Галуа. Тогда G имеет порядок 3 или 6, поскольку G есть подгруппа симметрической группы Во втором случае не будет нормальным над

Имеется простой способ проверить, является ли группа Галуа полной симметрической группой. Рассмотрим дискриминант. Положим

где -различные корни многочлена . Если G — группа Галуа и , то Следовательно, а оставляет А неподвижным. Таким образом, А лежит в основном поле k, а именно, как мы видели,

Множество тех в G, которые оставляют неподвижным, совпадает в точности с множеством четных перестановок. Таким образом, G будет симметрической группой тогда и только тогда, когда А не является квадратом в k.

Например, рассмотрим многочлен

над полем рациональных чисел. Любой рациональный корень должен быть либо 1, либо —1, так что f (X) неприводим над Q. Дискриминант равен —23 и не является квадратом. Следовательно, группа Галуа — симметрическая группа. Поле разложения содержит подполе степени 2, а именно .

Пример 3. Рассмотрим многочлен над полем рациональных чисел Q. Он неприводим по критерию Эйзенштейна. Пусть а — вещественный корень . Тогда — четыре корня многочлена и

Следовательно, полем разложения многочлена будет

Поле имеет степень 1 или 2 над Q. Степень не может быть равна 2, иначе , что невозможно, поскольку корень а вещественный. Следовательно, степень равна имеет степень 2 над и поэтому . Группа Галуа многочлена f (X) имеет порядок 8.

Существует автоморфизм поля К, оставляющий Q (а) неподвижным и переводящий i в —i, поскольку К — расширение Галуа над Q(а) степени 2. Имеем ,

В силу мультипликативности степеней в башнях степени именно таковы, как указано в диаграмме. Таким образом, неприводим над

Кроме того, К нормально над Существует автоморфизм 0 поля К над отображающий корень а многочлена —2 в корень Немедленно проверяется, что 1, а, различны и что Таким образом, порождает циклическую группу порядка 4. Обозначим ее через (о). Так как имеет индекс 2 в G, то порождается элементами . Кроме того, непосредственно проверяется, что

поскольку это соотношение выполняется при действии на элементы а и I, порождающие К над Q. Это дает нам строение G. Легко проверить, что структура подгрупп следующая:

Пример 4. Пусть k — поле, алгебраически независимы над k и Симметрическая группа G на символах действует на К, переставляя и ее неподвижное поле есть поле симметрических функций, т. е. по определению поле, состоящее из тех элементов в К, которые неподвижны относительно G. Пусть — элементарные симметрические многочлены и

С точностью до знака коэффициентами будут Положим Мы утверждаем, что . Действительно,

С другой стороны, К является полем разложения многочлена и его степень над F равна , а степень над следовательно, имеет место равенство .

Многочлен f (X) рассмотренного вида называется общим многочленом степени . Только что мы построили расширение Галуа, группа Галуа которого есть симметрическая группа.

Используя теорему Гильберта о неприводимости, можно построить расширение Галуа поля Q, группа Галуа которого есть симметрическая группа (см. гл. IX и [9], гл. VIII). Не известно, для всякой ли данной конечной группы G существует расширение Галуа поля Q, группа Галуа которого есть G. Эмма Нётер заметила, что это можно было бы доказать посредством специализации параметров, если бы было известно, что всякое поле Е, для которого

изоморфно полю, порожденному на алгебраически независимыми элементами. Когда писалась эта книга, ответ еще не был известен.

Отметим, что можно задать более общий вопрос. Если алгебраически независимы над полем комплексных чисел С, то всякое ли поле Е с условием изоморфно полю, порожденному алгебраически независимыми элементами Известно, что ответ утвердителен при (Люрот для и Касательнуово для ). Ни в каком другом случае ответ не известен. (Фано думал, что он нашел контрпример, но критическая переоценка в последние годы показала, что вопрос по-прежнему остается открытым.)

Пример 5. Докажем, что поле комплексных чисел алгебраически замкнуто. Это послужит иллюстрацией для почти всех ранее доказанных теорем.

Мы используем следующие свойства поля вещественных чисел R: это — упорядоченное поле; всякий положительный элемент является квадратом, и всякий многочлен нечетной степени из имеет корень в R. Позднее мы рассмотрим упорядоченные поля в общем случае и наши рассуждения окажутся применимыми к любому упорядоченному полю, обладающему перечисленными выше свойствами.

Пусть (другими словами, — корень многочлена ). Из всякого элемента в извлекается квадратный корень. Если , то квадратный корень задается выражением , где

Каждая из правых частей этих равенств положительна и, следовательно, имеет квадратный корень в R. Затем тривиальным образом определяется знак так, чтобы

Поскольку R имеет характеристику 0, всякое его конечное расширение сепарабельно. Всякое конечное расширение поля содержится в некотором расширении К, являющемся конечным расширением Галуа над R.

Мы должны показать, что . Пусть G — его группа Галуа над R, и пусть Н — силовская - подгруппа в G и F — неподвижное поле группы Н. Подсчитывая степени и порядки, находим, что степень поля F над R нечетна. В силу теоремы о примитивном элементе существует элемент такой, что . Тогда а будет корнем неприводимого многочлена нечетной степени из . Это возможно лишь в том случае, когда эта степень равна 1. Следовательно, - группа.

Далее, мы видим, что К—расширение Галуа над . Пусть — его группа Галуа. Так как - группа (с то, если она нетривиальна, в ней содержится подгруппа 02 индекса 2. Пусть -неподвижное поле подгруппы 02. Тогда F имеет степень 2 над т. е. является квадратичным расширением. Но мы видели, что из всякого элемента в извлекается квадратный корень и что, следовательно, RW не имеет расширений степени 2. Отсюда вытекает, что тривиальная группа и что нам и требовалось установить.

(Основные идеи предыдущего доказательства были уже у Гаусса. Тот их вариант, который мы выбрали и в котором существенным образом использованы силовские группы, принадлежит Артину.)

Пример 6. Этот пример адресован тем, кто немного знаком с римановыми поверхностями и накрытиями. Пусть t трансцендентно над полем комплексных чисел С. Значения t из С и со соответствуют точкам гауссовой сферы S, рассматриваемой как риманова поверхность. Пусть — различные точки сферы S. Конечные накрытия поверхности

находятся в биективном соответствии с некоторыми конечными расширениями поля , а именно теми, которые не разветвлены вне . Пусть К — объединение всех расширений, соответствующих таким накрытиям, и пусть — фундаментальная группа поверхности Тогда, как известно, — свободная группа с образующими, обладающая таким вложением в группу Галуа поля К над , что конечные подполя в К над С находятся в биективном соответствии с подгруппами группы конечного индекса. Для данной конечной группы G, порожденной элементами мы можем найти сюръективный гомоморфизм

переводящий образующие . Пусть Н — его ядро. Тогда Н принадлежит подполю поля К, которое нормально над и группа Галуа которого есть G.

На языке накрытий это означает, что Н принадлежит некоторому конечному накрытию поверхности