УПРАЖНЕНИЯ

1. (а) Пусть К — поле с нормированием. Для всякого многочлена

из К [X] определим как максимум значений . Показать, что этим определяется нормирование в а также что это нормирование может быть продолжено на поле рациональных функций . Почему лемма Гаусса является частным случаем предыдущего утверждения? Обобщить на многочлены от нескольких переменных.

(б) Пусть многочлен с комплексными коэффициентами. Определим как максимум абсолютных значений коэффициентов. Пусть d — целое число

Показать, что существуют константы (зависящие только от d), такие, что если — многочлены из С [X] степени d, то

[Указание: индукция по числу множителей степени 1. Отметим, что правое неравенство тривиально.]

2. Пусть — множество абсолютных значений, состоящее из обычного абсолютного значения и всех -адических абсолютных значений на поле рациональных чисел Q. Показать, что для любого рационального числа , имеет место равенство

Пусть К — конечное расширение Q и М обозначает множество абсолютных значений на К, продолжающих абсолютные значения из и для всякого пусть N — локальная степень - Показать, что для имеет место равенство

3. Показать, что поле -адических чисел не имеет других автоморфизмов, кроме тождественного. [Указание: показать, что такие автоморфизмы непрерывны в -адической топологии. Использовать следствие 3 предложения 20 в качестве алгебраической характеристики элементов, близких к 1.]

4. Пусть А — целостное кольцо главных идеалов, К — его поле частных и о — кольцо нормирования в К, содержащее А, причем . Показать, что о есть локальное кольцо для некоторого простого элемента . [Это применимо и к кольцу Z, и к кольцу многочленов k [X] над полем k.]

5. Пусть — целостное кольцо, К — его поле частных. Предположим, что всякий конечно порожденный идеал в А — главный. Пусть о — дискретное кольцо нормирования в К, содержащее А. Показать, что для некоторого элемента из А и что — образующая максимального идеала в

6. Пусть К — поле мероморфных функций на комплексной плоскости — кольцо дискретного нормирования в К (содержащее поле констант С). Показать, что функция z лежит в [Указание: пусть - дискретная последовательность комплексных чисел, сходящихся к бесконечности, например последовательность целых положительных чисел, — некоторое простое число и — последовательность целых чисел, для которой не является -адическим разложением рационального числа. Пусть -целая функция, имеющая нуль порядка для всякого i и не имеющая никаких других нулей. Если z не содержится в , то рассмотреть дробь

Пользуясь вейерштрассовским разложением целой функции, показать, что g для некоторой целой функции .

Вычисляя теперь порядок нуля g относительно дискретного нормирования определенного кольцом через порядки нули получить противоречие

Показать, что если U — некомпактная риманова поверхность, L — поле мероморфных функций на U и — кольцо дискретного нормирования в L, содержащее константы, то всякая голоморфная функция ( на U лежит в о [Указание рассмотреть отображение и получить дискретное нормирование на К, компонируя с мероморфными функциями на С Затем применить первую часть упражнения J Показать, что кольцо нормирования — это кольцо, ассоциированное с точкой на римановой поверхности [Дальнейшее указание если вы не знакомы с римановыми поверхностями, то сделайте это для комплексной плоскости Для всякого пусть — функция, голоморфная на U и имеющая только нуль порядка 1 в Показать что если для некоторого функция имеет порядок в , то — кольцо нормирования, ассоциированное Иными словами, всякая другая функция имеет порядок 0 в о Убедиться посредством приема аналогичного использованному в первой части упражнения, что нормирование, определяемое кольцом о, тривиально на любой голоморфной функции

7. Снова векторы Витта Пусть k — совершенное поле характеристики Мы будем использовать векторы Витта в той форме, в какой они описаны в упражнениях из гл VIII На можно определить абсолютное значение, а именно если первая ненулевая компонента Показать, что это действительно абсолютное значение, очевидно, дискретное, определенное на кольце и допускающее продолжение на поле частных Показать, что последнее поле — полное, и заметить, что — кольцо нормирования Максимальный идеал состоит из тех у которых т. е. равен

8. Пусть F — поле, полное относительно некоторого дискретного нормирования, о — соответствующее кольцо нормирования и — простой элемент, причем поле имеет характеристику Доказать, что если а, о и где то для всех целых . Пусть F обозначает то же, что и выше Показать, что в о существует система представителей R для такая, что и что такая система единственна (Тейхмюллер) [Указание пусть а — некоторый класс вычетов из k Для всякого v 0 пусть — представитель в класса показать, что последовательность а сходится при и притом к представителю а класса а, не зависящему от выбора Показать, что полученная таким образом система представителей R замкнута относительно умножения и что если F имеет характеристику , то система R замкнута также относительно сложения, а значит, изоморфна

10. Предположим, что F имеет характеристику 0. Сопоставим каждому вектору элемент

где — представитель в специальной системе из предыдущего упражнения Показать, что это отображение дает вложение о

11. (Локальная униформизация) Пусть k — поле, К - конечно порожденное расширение степени трансцендентности — кольцо дискретного нормирования поля К над k с максимальным идеалом Предположим, что и что К сепарабельно над где — некоторая образующая пи

Показать, что существует элемент , такой, что , и обладающий также следующим свойством.

Если — точка поля К, определенная кольцом о, (разумеется, ) — неприводимый многочлен из , для которого то . [Указание: записать сначала , где элемент z — целый над Пусть — элементы, сопряженные с над Продолжить о до кольца нормирования D поля Рассмотреть

— разложение z в степенной ряд с и ввести Для положить

Взяв достаточно большим, показать, что у, не имеет полюса в О, но имеют полюса в Элементы сопряжены над

Пусть — неприводимый многочлен пары над k. Тогда где Можно также предполагать, что (так как неприводим). Записать в виде

Показать, что не имеет полюса в О. Пусть w обозначает класс вычета элемента по модулю максимального идеала в О. Тогда

Положив найти, что

12. Доказать обращение упражнения 11: если — неприводимый многочлен пары над k и если элементы а, таковы, что но , то существует однозначно определенное кольцо нормирования о поля К с максимальным идеалом такое, что Кроме того, их — а — образующая [Указание: показать, что если — элемент, для которого то где А, В — такие многочлены, что . Если то повторить процесс. Показать, что процесс не может повторяться бесконечно и приводит к доказательству требуемого утверждения.

13. Пусть К — поле характеристики 0, полное относительно некоторого неархимедова абсолютного значения. Показать, что ряды

сходятся в некоторой окрестности 0. (Основная трудность возникает в случае, когда характеристика поля вычетов равна так как делит знаменатели . Получить выражение для показателя степени, в которой встречается в ) Доказать, что дают отображения, обратные друг другу, из окрестности 0 в окрестность 1.

14. Пусть поле К, так же как в предыдущем упражнении, имеет характеристику 0 и является полным относительно некоторого неархимедова абсолютного значения. Показать, что при любом целом обычное биномиальное разложение для сходится в некоторой окрестности 0.

Сделать это сначала в предположении, что характеристика поля вычетов не делит ; в этом случае доказательство утверждения намного проще.

1S. Пусть — -адическое поле. Показать, что содержит бесконечно много квадратичных полей вида от), где от — целое положительное число.

16. Показать, что кольцо целых -адических чисел компактно. Показать, что группа единиц в компактна.

17. Пусть К — поле, полное относительно некоторого дискретного нормирования с конечным полем вычетов но — кольцо элементов поля К, порядки которых 0. Показать, что о компактно. Показать, что группа единиц кольца о замкнута вой компактна.

18. Пусть К — поле, полное относительно некоторого дискретного нормирования, и о — кольцо целых элементов поля К, причем о компактно. Пусть — последовательность многочленов от переменных с коэффициентами в о. Предположим, что все эти многочлены имеют степень и что они сходятся к многочлену при . Показать, что если каждый имеет нуль в о, то также имеет нуль в о. Показать, что если многочлены однородны степени d и каждый имеет нетривиальный нуль в о, то имеет нетривиальный нуль в о. [Указание: исполь зовать компактность кольца о и для однородного случая — компактность группы единиц в (О приложениях этого упражнения, а также предложения 21 см статью Lang S., On quasi-algebraic closure, Ann. Math., 19S1.)

19. Показать, что если — два различных простых числа, то поля и неизоморфны.

20. Доказать, что поле содержит все корни степени из единицы. [Указание: использовать предложение 21, применив его к многочлену который разлагается в поле вычетов на множители степени 1.] Показать, что два различных корня степени из единицы не могут быть сравнимы по модулю .