§ 11. Поле определения представления

Пусть k — поле, G — группа и Е — -пространство. Предположим, что имеется представление G на Е. Пусть k — расширение поля k. Тогда О действует на по правилу

для Это отображение возникает из билинейного отображения произведения задаваемого соответствием

Рассматривая как расширение Е посредством k, мы получаем представление на Е.

Предложение 18. Пусть обозначения те же, что и выше. Тогда характеры представлений группы G на Е и на Е равны.

Доказательство. Пусть — базис Е над k. Тогда

— базис Е над k. Таким образом, матрицы, представляющие элемент из относительно этих двух базисов, равны и, следовательно, равны их следы.

Обратно, пусть k — поле и -подполе. Представление Она -пространстве Е называется определимым над k, если существуют -пространство Е и представление на Е, такие, что Е -изоморфно

Предложение 19. Пусть Е, F — пространства над k простых представлений конечной группы . Пусть k — расширение k. Предположим, что Е, F не являются -изоморфными. Тогда никакая -простая компонента пространства не встречается в разложении в прямую сумму -простых подпространств.

Доказательство. Рассмотрим разложение

над k в прямую сумму простых колец. Не теряя общности, мы можем предполагать, что Е, -простые левые идеалы в по предположению они будут принадлежать различным множителям этого произведения. Если мы теперь возьмем тензорное произведение с k, то получим не что иное, как . Тем самым мы будем иметь разложение в прямое произведение над k. Так как при , то оно будет в действительности получаться разложением в прямое произведение каждого множителя

Пусть, скажем, , где . Тогда Следовательно, для всякого Отсюда вытекает, что никакая простая компонента в не может быть -изоморфна никакому из простых левых идеалов колец , а это и доказывает то, что нам было нужно.

Следствие, Простые характеры группы над k линейно независимы над любым расширением k поля

Доказательство. Это тотчас вытекает из предложения и линейной независимости -простых характеров над

Предложения 18 и 19 являются по существу общими утверждениями совершенно абстрактной природы. В доказательстве следующей теоремы используется теорема Брауэра.

Теорема 17 (Брауэр). Пусть G — конечная группа показателя . Всякое представление G над полем комплексных чисел (или над алгебраически замкнутым полем характеристики 0) определим над полем где — примитивный корень степени из единицы.

Доказательство. Пусть — характер некоторого представления О над С, т. е. собственный характер. В силу теоремы 16 мы можем записать

где сумма берется по конечному числу подгрупп одномерный характер . Ясно, что каждый характер определим над . Таким образом, определим над и индуцированный характер который может быть записан в виде

где — простые характеры G над . Следовательно,

Представление в виде линейной комбинации простых характеров над k единственно, и, следовательно, коэффициент

. Это доказывает все, что нам было нужно.