§ 8. Производная и кратные корни

Пусть А — коммутативное кольцо. Определим отображение

кольца многочленов в себя. Если , то производная определяется соотношением

Легко проверяется, что для всяких многочленов из

и для всякого

Пусть К — поле, — многочлен из К [X] и а — его корень в Тогда

где g (X) — некоторый многочлен, взаимно простой с следовательно, такой, что . Мы называем кратностью а в и говорим, что а — кратный корень, если

Предложение 1. Пусть К, f обозначают то же, что и выше. Элемент а поля К является кратным корнем многочлена f тогда и только тогда, когда

Доказательство. Взяв для указанное выше разложение, получаем

Если то, очевидно, . Обратно, если , откуда . Следовательно, если , то мы должны иметь , что и требовалось доказать.

Предложение 2. Пусть . Если К имеет характеристику 0 и имеет степень 1, то . Пусть К имеет характеристику имеет степень -1. Тогда том и только в том случае, если в выражении для

делит каждый индекс v, для которого

Доказательство. Если имеет характеристику 0, то производная одночлена отлична от нуля, поскольку она равна . Если К имеет характеристику то производная такого одночлена равна 0 тогда и только тогда, когда , что и утверждалось.

Пусть К имеет характеристику и пусть многочлен данного выше вида таков, что . Тогда мы можем написать

где

Так как биномиальные коэффициенты делятся на при . Для любых элементов а, b из поля К характеристики мы имеем

Далее, очевидно, так что отображение

есть гомоморфизм К в себя, имеющий тривиальное ядро и, следовательно, инъективный. Итерируя, мы заключаем, что для всякого целого отображение есть эндоморфизм поля К, называемый эндоморфизмом Фробениуса. По индукции для всяких элементов из К

Применяя эти замечания к многочленам, мы видим, что для любого элемента выполняется соотношение

Пусть . Если многочлен

имеет корень а в К, то и

Следовательно, наш многочлен имеет ровно один корень кратности . Например, .