УПРАЖНЕНИЯ

1. (а) Сформулировать и доказать аналог теоремы 8 для рациональных чисел.

(б) Сформулировать и доказать аналог теоремы 9 для положительных целых чисел.

2. Пусть — многочлен от одной переменной над полем к, и пусть X, У — две переменные. Показать, что в имеет место разложение в ряд Тейлора

где — некоторые многочлены от X с коэффициентами в к. Если к имеет характеристику 0, то

3. Обобщить предыдущее упражнение на многочлены от нескольких переменных (ввести частные производные и показать, что для многочленов от нескольких переменных существует конечное разложение Тейлора).

4. (а) Показать, что многочлены неприводимы над полем рациональных чисел.

(б) Показать, что многочлен степени 3 над полем либо неприводим, либо имеет корень в этом поле. Является ли многочлен неприводимым над полем рациональных чисел?

(в) Показать, что многочлен от двух переменных неприводим над полем рациональных чисел. Неприводим ли он над полем комплексных чисел?

5. Пусть — многочлен с целыми коэффициентами, . Показать, что если имеет корень в поле рациональных чисел, то этот корень должен быть целым рациональным числом, делящим Обобщить это утверждение на любое факториальное кольцо и его поле частных.

6. (а) Пусть — конечное поле из q элементов. Пусть

многочлен в степени d, такой, что Элемент для которого , называется нулем Показать, что если то имеет по крайней мере еще один нуль в [Указание: предположить противное и сравнить степени редуцированных многочленов

и . Рассуждение принадлежит Шевалле.]

(б) Усилить предыдущий результат, доказав, что число N нулей многочлена в к сравнимо с нулем по . Рассуждать следующим образом. Пусть i — целое число 0. Показать, что

Обозначим предыдущую функцию от i через . Показать, что

и что для каждого набора целых чисел будет

Показать, что оба члена в сумме для N дают . (Приведенное рассуждение принадлежит Варнингу.)

(в) Распространить теорему Шевалле на многочленов степеней соответственно от переменных.

Показать, что если эти многочлены не имеют постоянных членов и то у них есть нетривиальный общий нуль. (г) Показать, что произвольная функция может быть представлена многочленом. (Как и прежде, конечное поле.)

7. Пусть А — коммутативное целостное кольцо и X — переменная над А. Пусть а, причем а — единица в А. Показать, что отображение продолжается и притом единственным образом до автоморфизма кольца , индуцирующего тождественное отображение на А. Каков обратный автоморфизм?

8. Показать, что любой автоморфизм кольца имеет вид, указанный в упражнении 7.

9. Пусть А — коммутативное целостное кольцо, К — его поле частных и поле частных кольца (или, что то же самое, кольца ). Показать, что всякий автоморфизм поля К (X), индуцирующий тождественное отображение на К, имеет вид

где таковы, что не лежит в К, или, что экви валентно, .

10. Показать, что дискриминант многочлена с равен

11. Показать, что дискриминант многочлена равен

В частности, дискриминантом многочлена

12. Показать, что дискриминант многочлена обращается в нуль тогда и только тогда, когда многочлен имеет кратный корень. (Вы можете предполагать, что многочлен разлагается на множители степени 1 в некотором поле.)

13. Пусть w — некоторое комплексное число. Показать, что существует постоянная , для которой справедливо следующее. Пусть F, G — ненулевые многочлены от одной переменной с комплексными коэффициентами степеней соответственно и R — их результант. Тогда

(Мы обозначаем через максимум абсолютных значений коэффициентов многочлена )

14. Показать, что можно определить простейшие дроби для положительных рациональных чисел, т. е. получить разложение, аналогичное разложению из теоремы 8. Показать, что группа изоморфна прямой сумме аддитивных групп взятой по всем простым . Обобщить на произвольное кольцо главных идеалов А. Если К — поле частных кольца А, то что представляет собой

15. Следующее упражнение несколько труднее предыдущих. Пусть рациональное число, представленное в виде отношения взаимно простых целых чисел .

Назовем его высотой максимум из . Пусть

— элемент из , представленный в виде отношения двух взаимно простых многочленов . Назовем степенью элемента максймум из . Если число таково, что , то мы можем образовать ; в этом случае мы говорим, что функция определена в а. Пусть имеет степень d. Показать, что существуют две константы такие, что для всех рациональных чисел а, в которых определена, имеют место неравенства

[Указание: одно из неравенств тривиально. Для получения другого показать, что функция ограничена.]