§ 3. Симметрические формы, ортогональные базисы

Теорема 1. Пусть Е — векторное пространство над k и g — симметрическая форма на Е. Если , то в Е существует. ортогональный базис.

Доказательство. Предположим сначала, что форма g невырожденная, и докажем в этом случае наше утверждение по индукции. Если размерность равна 1, то утверждение очевидно.

Предположим, что Пусть элемент, для которого (такой элемент существует, поскольку по предположению характеристика и форма g ненулевая). Пусть — подпространство, порожденное Тогда F невырождено и в силу предложения 2

Кроме того, Пусть - ортогональный базис в Тогда элементы попарно ортогональны.

Кроме того, они линейно независимы, так как если

где то, взяв скалярное произведение на v., получим откуда для всех

Замечание. Фактически мы показали, что если g невырожденная и элемент таков, что , то можно дополнить v до ортогонального базиса в Е.

Предположим теперь, что форма g вырожденная. Пусть — ее ядро. Мы можем записать Е в виде прямой суммы

для некоторого подпространства W. Ограничение g на W невырождено, иначе существовал бы элемент в W, лежащий в ядре Е. Следовательно, если — произвольный базис - ортогональный базис W, то

— ортогональный базис в Е, что и требовалось показать.

Следствие. Пусть - ортогональный базис в Е.

Предположим, что для для . Тогда ядро в Е равно

Доказательство. Очевидно.

Если — ортогональный базис пространства Е и если

то

где Об этом представлении формы мы скажем, что она приведена к диагональному виду.

Непосредственно видно, что по отношению к ортогональному базису ассоциированная матрица формы является диагональной матрицей, а именно