§ 8. Положительное разложение регулярного характера

Пусть — конечная группа и — поле комплексных чисел. Пусть, далее, 10 — тривиальный характер, а —регулярный характер.

Предложение 11. Пусть Н — подгруппа в — характер - индуцированный характер. Тогда кратность характера та же самая, что и кратность

Доказательство. В силу теоремы имеем

Эти скалярные произведения как раз и являются интересующими нас кратностями.

Предложение 12. Регулярное представление есть представление, индуцированное тривиальным характером на тривиальной подгруппе группы

Доказательство. Это тотчас следует из определения индуцированного характера

если взять на тривиальной подгруппе.

Следствие. Кратность в регулярном характере равна 1.

Мы исследуем теперь характер

Теорема 12 (Брауэр). Характер является линейной комбинацией с целыми положительными коэффициентами характеров, индуцированных одномерными характерами циклических подгрупп группа О.

Доказательство состоит из двух предложений, дающих явное описание индуцированных характеров. Я обязан Серру приведенным далее изложением работы Брауэра.

Пусть А — циклическая группа порядка а. Определим на А функцию следующими условиями:

Положим — функция Эйлера) и если

Искомый результат содержится в следующих двух предложениях.

Предложение 13. Пусть G — конечная группа порядка n. Тогда

где сумма берется по всем циклическим подгруппам группы

Доказательство. Для данных функций классов на G имеем обычное скалярное произведение

Пусть — любая функция классов на G. Тогда

С другой стороны, используя тот факт, что индуцированный характер сопряжен с ограничением, получаем

Так как функции в левой и правой частях утверждаемого равенства имеют одно и то же скалярное произведение с произвольной функцией классов, то они равны. Это доказывает наше предложение.

Предложение 14. Если , то есть линейная комбинация неприводимых нетривиальных характеров А с целыми положительными коэффициентами.

Доказательство. Если А — циклическая группа простого порядка, то в силу предложения и наше утверждение вытекает из стандартной структуры регулярного представления.

Чтобы доказать утверждение в общем случае, достаточно установить, что коэффициенты Фурье функции относительно характеров степени 1 являются целыми числами -0. Пусть — характер степени 1. Взяв скалярное произведение относительно А, получим

Сумма взятая по образующим А, является, с одной стороны, целым алгебраическим числом, а с другой стороны, рациональным числом (в силу любого из многочисленных элементарных соображений) и, следовательно, является целым рациональным. числом. Далее, если характер нетривиален, то вещественные части всех чисел

будут для для Отсюда заключаем, что сумма должна быть равна целому положительному числу. Если — тривиальный характер, то сумма, очевидно, равна 0. Наше предложение доказано.