§ 6. Циклические расширения

Напомним, что конечное расширение называется циклическим, если оно является расширением Галуа и его группа Галуа циклическая.

Теорема 90 Гильберта. Пусть - циклическое расширение с группой Галуа G. Пусть а — образующая группы Норма равна 1 в том и только в том случае, когда существует элемент в К, такой, что

Доказательство. Предположим, что такой элемент а существует. Беря норму от , получаем . Но норма — это произведение по всем автоморфизмам из G. Применение о лишь переставляет эти автоморфизмы. Следовательно, норма равна 1.

Будет удобно использовать экспоненциальные обозначения. Если , то пишем

В силу теоремы Артина о характерах отображение

не равно тождественно нулю. Следовательно, существует , для которого элемент

не равен нулю. Если воспользоваться тем фактом, что и что, следовательно, при применении к последнему члену суммы мы получим , то становится очевидным, что Чтобы завершить доказательство, разделим на

Теорема 10. Пусть k — поле, — целое число взаимно простое с характеристикой поля k, причем в k имеется примитивный корень степени из единицы.

(а) Если К — циклическое расширение степени , то существует элемент такой, что и а удовлетворяет уравнению — для некоторого

(б) Обратно, пусть и а — некоторый корень многочлена . Тогда — циклическое расширение над k степени и -элемент из

Доказательство. Пусть -примитивный корень степени из единицы в - циклическое расширение с группой G и — образующая G. Имеем . В силу теоремы 90 Гильберта существует элемент такой, что

Поскольку лежит в k, то для Следовательно, элементы составляют различных сопряженных с а над k, откуда вытекает, что не меньше, чем . Так как то . Кроме того,

Неподвижный относительно о элемент а” будет неподвижен относительно всякой степени а и, следовательно, неподвижен относительно G. Поэтому лежит в k и мы полагаем . Это доказывает первую часть теоремы.

Обратно, пусть и а — корень многочлена . Тогда для всякого также является корнем этого многочлена и, следовательно, все его корни лежат в поле которое тем самым нормально над k. При этом все корни различны, так что является расширением Галуа над k. Пусть G — его группа Галуа.

Если — автоморфизм расширения , то также будет корнем многочлена . Следовательно, где — некоторый корень степени из единицы, не обязательно примитивный. Отображение является, очевидно, гомоморфизмом G в группу корней степени из единицы, причем инъективным. Так как всякая подгруппа циклической группы циклическая, то мы заключаем, что - циклическая группа, скажем, порядка d и . Ораз G есть циклическая группа порядка d. Если — образующая G, то — примитивный корень степени из единицы. Далее получаем

Следовательно, элемент неподвижен относительно G. Это элемент из k, и наша теорема доказана.

Теперь мы переходим к аналогу теоремы 90 Гильберта в характеристике для циклического расширения степени р.

Теорема 90 Гильберта (аддитивная форма). Пусть k — поле, — циклическое расширение степени с группой G и а — образующая G. Пусть След равен 0 в том и только в том случае, когда существует элемент такой, что

Доказательство. Если такой элемент а существует, то след будет 0, поскольку след равен сумме, взятой по всем элементам G, а применение а лишь переставляют эти элементы.

Обратно, предположим, что . Существует элемент для которого . Положим

Отсюда сразу вытекает, что .

Теорема 11 (Артин — Шрейер). Пусть k — поле характеристики .

(а) Если К — циклическое расширение над k степени , то существует элемент а такой, что причем а удовлетворяет уравнению для некоторого

(б) Обратно, для данного элемента многочлен либо имеет корень в k, и тогда все его корни лежат в k, либо неприводим. В последнем случае, если а — некоторый его корень, то - циклическое расширение степени над

Доказательство. Пусть — циклическое расширение степени . Тогда (это просто результат сложения —1 с собой раз). Пусть — образующая группы Галуа. В силу аддитивной формы теоремы 90 Гильберта имеется элемент для которого или, что то же самое, . Следовательно, для всех целых чисел и а имеет различных сопряженных, так что . Отсюда вытекает, что Заметим, что

Следовательно, элемент неподвижный относительно , будет неподвижен относительно степеней а, а потому и относительно G. Таким образом, он лежит в неподвижном поле k. Полагая видим, что наше первое утверждение доказано.

Обратно, пусть . Если а — корень многочлена , то при также служит его корнем. Таким образом, f (X) имеет различных корней. Если один корень лежит в k, то и все корни лежат в k. Допустим, что ни один из корней не лежит в k. Мы утверждаем, что многочлен неприводим. Предположим, что

где . Так как

то совпадает с произведением по некоторым целым числам t. Пусть . Коэффициент при будет суммой членов — взятой точно по d целым числам Следовательно, он равен , где j — некоторое целое число. Но в k и, значит, а лежит в k, поскольку коэффициенты g лежат в k — противоречие. Таким образом, неприводим. Все его корни лежат в поле , которое по этой причине нормально над k. Так как не имеет кратных корней, то будет расширением Галуа над k.

Имеется автоморфизм а поля над k, такой, что (поскольку также корень). Степени автоморфизма о дают для и поэтому все различны. Следовательно, группа Галуа состоит из этих степеней, а потому является циклической, что и доказывает теорему.