Глава XVI. Полилинейные произведения

§ 1. Тензорное произведение

Пусть k — коммутативное кольцо. Для модулей обозначим через

модуль -линейных отображений

Напомним, что полилинейное отображение линейно над k по каждой переменной. Мы будем использовать слова „линейное отображение" и „гомоморфизм" как синонимы. Если не оговорено противное, то все модули, гомоморфизмы, линейные и полилинейные отображения рассматриваются по отношению к кольцу

Полилинейные отображения фиксированного множества модулей можно рассматривать как объекты некоторой категории. Действительно, если

— полилинейные отображения, то мы определяем морфизм как гомоморфизм для которого коммутативна следующая диаграмма:

Универсальный объект этой категории называется тензорным произведением модулей

Докажем теперь, что тензорное произведение существует, и фактически построим его некоторым естественным способом. Из абстрактной чепухи нам, разумеется, известно, что тензорное произведение однозначно определено с точностью до единственного изоморфизма.

Пусть М — свободный модуль, порожденный множеством всех -наборов т. е. порожденный множеством

Обозначим через N его подмодуль, порожденный всеми элементами следующего вида:

где . Имеем каноническое вложение

нашего множества в порожденный им свободный модуль. Взяв композицию этого отображения с каноническим отображением на фактормодуль, получим отображение

Мы утверждаем, что полилинейно и является тензорным произведением.

Что полилинейно, — очевидно; все было как раз приспособлено для этой цели. Пусть

— полилинейное отображение. По определению свободного модуля, порожденного множеством имеем индуцированное линейное отображение для которого коммутативна следующая диаграмма:

Так как полилинейно, то индуцированное отображение принимает значение 0 на N. Следовательно, в силу универсального свойства фактормодулей это отображение может быть пропущено через и, мы имеем гомоморфизм для которого коммутативна следующая диаграмма:

Так как образ отображения порождает то индуцированное отображение однозначно определено. Это доказывает все, что нам требовалось.

Модуль будет обозначаться через или также через Мы построили специальное тензорное произведение в классе тензорных произведений относительно изоморфизма, и именно за ним мы закрепим название тензорного произведения модулей

Для будем записывать

Для всех i имеем

В случае двух сомножителей, скажем Е, F, всякий элемент из может быть записан как сумма членов поскольку такие члены порождают над k и а для

Предостережение. Тензорное произведение может приводить к полному или частичному взаимному уничтожению модулей. Возьмем, например, тензорное произведение над Z абелевых групп где — взаимно простые целые числа, большие единицы. Тогда тензорное произведение

Действительно, имеем Следовательно, для всех . А так как элементы вида порождают тензорное произведение, то оно равно 0. Позднее мы найдем условия, при которых съеданий такого рода не происходит.

Во многих дальнейших результатах мы будем утверждать существование и единственность каких-либо линейных отображений тензорного произведения. Это существование доказывается использованием универсального свойства тензорного произведения, позволяющего пропускать через него билинейные отображения. Единственность вытекает из того факта, что линейные отображения принимают предписанное значение на элементах (скажем, для двух множителей) вида , поскольку такие элементы порождают тензорное произведение.

Докажем ассоциативность тензорного произведения.

Предложение 1. Пусть — модули. Тогда существует однозначно определенный изоморфизм

такой, что

для

Доказательство. Так как элементы вида порождают тензорное произведение, то единственность искомого линейного отображения очевидна. Чтобы доказать существование, возьмем . Отображение

такое, что , очевидно, билинейно и, следовательно, может быть пропущено через линейное отображение тензорного произведения

Отображение

такое, что

для также, очевидно, билинейно, и оно пропускается через, линейное отображение

которое и обладает требуемыми свойствами (ясно из его построения).

Предложение 2. Для всяких модулей Е, F существует однозначно определенный изоморфизм

такой, что для

Доказательство. Отображение такое, что билинейно, и оно пропускается через линейное отображение тензорного произведения переводящее Так как это последнее отображение имеет обратное (по симметрии), то и получаем искомый изоморфизм.

Тензорное произведение обладает различными функториальными свойствами. Во-первых, пусть

— набор линейных отображений. Имеем индуцированное отображение произведения

Если мы возьмем композицию с каноническим отображением в тензорное произведение, то получим индуцированное линейное отображение, которое мы можем обозначить через и для которого коммутативна следующая диаграмма:

Непосредственно проверяется, что Т функториально, а именно что для композиции линейных отображений

и

Заметим, что - это однозначно определенное линейное отображение, действие которого на элемент из задается правилом

Мы можем рассматривать Т как отображение

и читатель легко проверит, что это отображение полилинейное. Мы выпишем в явном виде, что это означает в случае двух множителей, когда наше отображение может быть записано так:

Для заданных гомоморфизмов

В частности, выберем некоторый фиксированный модуль F и рассмотрим функтор (из категории модулей в категорию модулей), такой, что

Тогда для всякой пары модулей Е, Е определяет линейное отображение

по формуле

Замечание. Допуская вольность в обозначениях, иногда мы будем писать

Это не надо путать с тензорным произведением элементов, взятым в тензорном произведении модулей

Из контекста всегда будет ясно, что мы имеем в виду.