§ 3. Корни из единицы

Пусть поле. Под корнем из единицы (в ) мы будем понимать всякий элемент такой, что для некоторого . Если характеристика поля равна р, то уравнение

имеет только один корень, а именно 1, и, следовательно, нет никаких корней степени из единицы, кроме 1.

Пусть — целое число взаимно простое с характеристикой поля . Многочлен

сепарабелен, поскольку его производная обращается в нуль лишь при и, значит, не имеет с общих корней. Следовательно, в многочлен имеет различных корней, являющихся корнями из единицы. Они, очевидно, образуют группу, а, как мы знаем, всякая конечная мультипликативная группа в поле циклическая (гл. V, теорема 6). Таким образом, группа корней степени из единицы циклическая. Образующие этой группы называются примитивными, или первообразными, корнями степени из единицы.

Пусть обозначает группу всех корней степени из единицы в и т. п. — взаимно простые целые числа; тогда

Это следует из того, что не могут иметь общих элементов, кроме 1, и, значит, содержит ровно элементов, каждый из которых есть корень степени из единицы. Следовательно, (откуда и получается разложение в прямое произведение).

Теорема 6. Для всякого примитивного корня степени из единицы

Доказательство. Пусть — неприводимый многочлен элемента над Q. Тогда делит многочлен скажем , где оба имеют старший коэффициент 1. В силу леммы Гаусса имеют целые коэффициенты. Ниже мы покажем, что если — простое число, не делящее , то также будет корнем многочлена Поскольку — тоже примитивный корень степени из единицы и поскольку любой примитивный корень степени из единицы может быть получен последовательным возведением в простые степени с показателями, не делящими , то отсюда будет следовать, что все примитивные корни степени из единицы являются корнями многочлена который поэтому имеет степень (), и, значит, его степень равна точно .

Предположим, что не является корнем Тогда корень многочлена h, а сам — корень Следовательно, делит и мы можем написать

Так как имеет целые коэффициенты и старший коэффициент 1, то и g имеет целые коэффициенты. Поскольку для любого целого числа а, то заключаем, что

и, следовательно,

В частности, обозначив через и h многочлены над получающиеся соответственно из и h при редукции по модулю , мы видим, что и h не являются взаимно простыми, т. е. имеют общий множитель. Но и, следовательно, имеет кратные корни. Но это, как сразу видно из рассмотрения производной, невозможно, и наша теорема доказана.

Следствие. Если — взаимно простые целые числа то

Доказательство. Заметим, что и содержатся оба в поскольку — примитивный корень степени из единицы. Кроме того, — примитивный корень степени из единицы. Следовательно,

Наше утверждение вытекает из мультипликативности

Предположим, что — простое число (не имеющее ничего общего с характеристикой). Тогда

Любой примитивный корень степени из единицы является корнем второго множителя в правой части этого равенства.

Так как имеется ровно примитивных корней степени из единицы, то мы заключаем, что ими исчерпываются все корни многочлена

Мы видели в гл. V, что этот многочлен может быть преобразован в многочлен Эйзенштейна над полем рациональных чисел. Это дает другое доказательство того факта, что

Пусть k — произвольное поле, — целое число, взаимно простое с его характеристикой, примитивный корень степени из единицы в — вложение в k над k. Тогда

так что также есть корень степени из единицы. Следовательно, для некоторого целого — однозначно определенного по модулю . Значит, о отображает в себя и, таким образом, k (С) нормально над k. Если — другой автоморфизм поля k (С) над k, то

Так как — автоморфизмы, то взаимно просты с (иначе имел бы период, меньший ). Таким образом, мы получаем гомоморфизм группы Галуа G поля над k в мультипликативную группу целых чисел по модулю , взаимно простых с . Этот гомоморфизм, очевидно, инъективен, поскольку однозначно определяется по модулю автоморфизмом а, а действие о на k (G определяется действием этого автоморфизма на . Мы заключаем, что ) абелево над

Пусть — функция Эйлера. Как мы знаем, порядок группы равен . Следовательно, степень делит .

Исследуем более подробно разложение на множители многочлена для простоты предположим, что характеристика равна 0. Имеем

где произведение берется по всем корням степени из единицы. Соберем вместе все члены, соответствующие тем корням из единицы, которые имеют одинаковый период. Пусть

Тогда

Мы видим, что и что

Следовательно, мы можем вычислять рекуррентно, и видно, что является многочленом из поскольку мы последовательно делим друг на друга многочлены, имеющие коэффициенты в Q. У всех наших многочленов старший коэффициент равен 1, так что в действительности имеет целочисленные коэффициенты в силу теоремы 2 из гл. V, § 4. Таким образом, наша конструкция по существу универсальна и годна для любого поля (характеристика которого не делит

Мы называем круговым многочленом, или многочленом деления круга на равных частей.

Корнями являются в точности примитивные корни степени из единицы, и, следовательно,

В силу теоремы 6 мы заключаем, что неприводим над Q и, значит,

Доказательства следующих рекуррентных формул мы предоставляем читателю в качестве упражнений

1. Если — простое число, то

и для любого целого

2. Пусть положительное целое число, разложенное на простые множители. Тогда

3 Если нечетно, то

4 Если — простое число, не делящее то

S. Имеем

Как обычно, — это функция Мёбиуса:

В качестве упражнения покажите, что

Если — корень степени из единицы и , то

Это замечание тривиально, но полезно.

Пусть — конечное поле из q элементов, где q есть некоторая степень простого числа Тогда F содержит элементов и является циклической группой. Следовательно, индекс

Для целого числа положим

Эта функция, известная под названием квадратичного символа (или символа Лежандра), зависит только от класса вычетов

Из нашего предыдущего замечания мы видим, что имеется ровно столько же квадратичных вычетов, сколько и невычетов по модулю .

Пусть — примитивный корень степени из единицы и

где сумма берется по всем ненулевым классам вычетов по модулю . Тогда

Всякое квадратичное расширение поля Q содержится в некотором расширении, получающемся присоединением к Q корня из единицы.

Доказательство. Последнее утверждение следует непосредственно из явного выражения как квадрата в , поскольку квадратный корень из любого целого числа содержится в поле, порожденном присоединением квадратных корней из простых множителей, входящих в его разложение, а также

Кроме того, для простого числа 2 имеет место соотношение . Докажем утверждение, касающееся . Имеем

Когда v пробегает все ненулевые классы вычетов, то же самое происходит с при любом фиксированном [1 и, следовательно, замена v на дает

Но , так что сумма по стоящая справа, равна —1. Следовательно,

что и требовалось установить.

Мы видим, что содержится в или в зависимости от знака квадратичного символа для —1. Расширение поля называется круговым, если оно содержится в поле, полученном присоединением корней из единицы. Выше мы показали, что квадратичные расширения поля Q являются круговыми. Теорема Кронекера утверждает, что всякое абелево расширение поля Q является круговым, но ее доказательство требует техники, которая не может быть изложена в этой книге.